MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntreq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntreq0 20929
Description: Two ways to say that a subset has an empty interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
ntreq0 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑥𝑆𝑥 = ∅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ntreq0
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21ntrval 20888 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
32eqeq1d 2653 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ ↔ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅))
4 neq0 3963 . . . . 5 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
54con1bii 345 . . . 4 (¬ ∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅)
6 ancom 465 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑥))
7 elin 3829 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑥𝐽𝑥 ∈ 𝒫 𝑆))
87anbi1i 731 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑥) ↔ ((𝑥𝐽𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑥))
9 anass 682 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐽𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑥) ↔ (𝑥𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥)))
106, 8, 93bitri 286 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ (𝑥𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥)))
1110exbii 1814 . . . . . . . 8 (∃𝑥(𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥)))
12 eluni 4471 . . . . . . . 8 (𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑥(𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)))
13 df-rex 2947 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥)))
1411, 12, 133bitr4i 292 . . . . . . 7 (𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥))
1514exbii 1814 . . . . . 6 (∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑦𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥))
16 rexcom4 3256 . . . . . 6 (∃𝑥𝐽𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥) ↔ ∃𝑦𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥))
17 19.42v 1921 . . . . . . 7 (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
1817rexbii 3070 . . . . . 6 (∃𝑥𝐽𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥) ↔ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
1915, 16, 183bitr2i 288 . . . . 5 (∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
2019notbii 309 . . . 4 (¬ ∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ¬ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
215, 20bitr3i 266 . . 3 ( (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
22 ralinexa 3026 . . 3 (∀𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ¬ ∃𝑦 𝑦𝑥) ↔ ¬ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
23 selpw 4198 . . . . 5 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑥𝑆)
24 neq0 3963 . . . . . 6 𝑥 = ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝑥)
2524con1bii 345 . . . . 5 (¬ ∃𝑦 𝑦𝑥𝑥 = ∅)
2623, 25imbi12i 339 . . . 4 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ¬ ∃𝑦 𝑦𝑥) ↔ (𝑥𝑆𝑥 = ∅))
2726ralbii 3009 . . 3 (∀𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ¬ ∃𝑦 𝑦𝑥) ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑥𝑆𝑥 = ∅))
2821, 22, 273bitr2i 288 . 2 ( (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅ ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑥𝑆𝑥 = ∅))
293, 28syl6bb 276 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑥𝑆𝑥 = ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  cin 3606  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191   cuni 4468  cfv 5926  Topctop 20746  intcnt 20869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-top 20747  df-ntr 20872
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator