Theorem ntrelmap 38842

Description: The interior function is a map from the powerset of the base set to itself. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrrn.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
ntrrn.i	⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ntrelmap	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ (𝒫 𝑋 ↑𝑚 𝒫 𝑋))

Proof of Theorem ntrelmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrrn.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		ntrrn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)
3	1, 2	ntrf2 38841	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋)
4	1	topopn 20834	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
5		pwexg 4955	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐽 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝒫 𝑋 ∈ V)
7	6, 6	elmapd 7988	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐼 ∈ (𝒫 𝑋 ↑𝑚 𝒫 𝑋) ↔ 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋))
8	3, 7	mpbird 247	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ (𝒫 𝑋 ↑𝑚 𝒫 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  Vcvv 3304  𝒫 cpw 4266  ∪ cuni 4544  ⟶wf 5997  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765   ↑_𝑚 cmap 7974  Topctop 20821  intcnt 20944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-map 7976  df-top 20822  df-topon 20839  df-ntr 20947

This theorem is referenced by: (None)