Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrelmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrelmap 38842
Description: The interior function is a map from the powerset of the base set to itself. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrrn.x 𝑋 = 𝐽
ntrrn.i 𝐼 = (int‘𝐽)
Assertion
Ref Expression
ntrelmap (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ (𝒫 𝑋𝑚 𝒫 𝑋))

Proof of Theorem ntrelmap
StepHypRef Expression
1 ntrrn.x . . 3 𝑋 = 𝐽
2 ntrrn.i . . 3 𝐼 = (int‘𝐽)
31, 2ntrf2 38841 . 2 (𝐽 ∈ Top → 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋)
41topopn 20834 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
5 pwexg 4955 . . . 4 (𝑋𝐽 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
64, 5syl 17 . . 3 (𝐽 ∈ Top → 𝒫 𝑋 ∈ V)
76, 6elmapd 7988 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐼 ∈ (𝒫 𝑋𝑚 𝒫 𝑋) ↔ 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋))
83, 7mpbird 247 1 (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ (𝒫 𝑋𝑚 𝒫 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1596  wcel 2103  Vcvv 3304  𝒫 cpw 4266   cuni 4544  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  𝑚 cmap 7974  Topctop 20821  intcnt 20944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-map 7976  df-top 20822  df-topon 20839  df-ntr 20947
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator