MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nthruc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nthruc 14463
Description: The sequence , , , , and forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to but not , one-half belongs to but not , the square root of 2 belongs to but not , and finally that the imaginary number i belongs to but not . See nthruz 14464 for a further refinement. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nthruc ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))

Proof of Theorem nthruc
StepHypRef Expression
1 nnssz 11048 . . . 4 ℕ ⊆ ℤ
2 0z 11039 . . . . 5 0 ∈ ℤ
3 0nnn 10730 . . . . 5 ¬ 0 ∈ ℕ
42, 3pm3.2i 464 . . . 4 (0 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ∈ ℕ)
5 ssnelpss 3566 . . . 4 (ℕ ⊆ ℤ → ((0 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ∈ ℕ) → ℕ ⊊ ℤ))
61, 4, 5mp2 9 . . 3 ℕ ⊊ ℤ
7 zssq 11362 . . . 4 ℤ ⊆ ℚ
8 1z 11058 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
9 2nn 10857 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
10 znq 11359 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (1 / 2) ∈ ℚ)
118, 9, 10mp2an 695 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℚ
12 halfnz 11104 . . . . 5 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
1311, 12pm3.2i 464 . . . 4 ((1 / 2) ∈ ℚ ∧ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ)
14 ssnelpss 3566 . . . 4 (ℤ ⊆ ℚ → (((1 / 2) ∈ ℚ ∧ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ) → ℤ ⊊ ℚ))
157, 13, 14mp2 9 . . 3 ℤ ⊊ ℚ
166, 15pm3.2i 464 . 2 (ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ)
17 qssre 11365 . . . 4 ℚ ⊆ ℝ
18 sqrt2re 14462 . . . . 5 (√‘2) ∈ ℝ
19 sqrt2irr 14461 . . . . . 6 (√‘2) ∉ ℚ
2019neli 2780 . . . . 5 ¬ (√‘2) ∈ ℚ
2118, 20pm3.2i 464 . . . 4 ((√‘2) ∈ ℝ ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
22 ssnelpss 3566 . . . 4 (ℚ ⊆ ℝ → (((√‘2) ∈ ℝ ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ) → ℚ ⊊ ℝ))
2317, 21, 22mp2 9 . . 3 ℚ ⊊ ℝ
24 ax-resscn 9681 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
25 ax-icn 9683 . . . . 5 i ∈ ℂ
26 inelr 10688 . . . . 5 ¬ i ∈ ℝ
2725, 26pm3.2i 464 . . . 4 (i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ)
28 ssnelpss 3566 . . . 4 (ℝ ⊆ ℂ → ((i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ) → ℝ ⊊ ℂ))
2924, 27, 28mp2 9 . . 3 ℝ ⊊ ℂ
3023, 29pm3.2i 464 . 2 (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ)
3116, 30pm3.2i 464 1 ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 378  wcel 1937  wss 3426  wpss 3427  cfv 5633  (class class class)co 6363  cc 9622  cr 9623  0cc0 9624  1c1 9625  ici 9626   / cdiv 10358  cn 10698  2c2 10748  cz 11028  cq 11355  csqrt 13456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1698  ax-4 1711  ax-5 1789  ax-6 1836  ax-7 1883  ax-8 1939  ax-9 1946  ax-10 1965  ax-11 1970  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2485  ax-sep 4558  ax-nul 4567  ax-pow 4619  ax-pr 4680  ax-un 6659  ax-cnex 9680  ax-resscn 9681  ax-1cn 9682  ax-icn 9683  ax-addcl 9684  ax-addrcl 9685  ax-mulcl 9686  ax-mulrcl 9687  ax-mulcom 9688  ax-addass 9689  ax-mulass 9690  ax-distr 9691  ax-i2m1 9692  ax-1ne0 9693  ax-1rid 9694  ax-rnegex 9695  ax-rrecex 9696  ax-cnre 9697  ax-pre-lttri 9698  ax-pre-lttrn 9699  ax-pre-ltadd 9700  ax-pre-mulgt0 9701  ax-pre-sup 9702
This theorem depends on definitions:  df-bi 192  df-or 379  df-an 380  df-3or 1022  df-3an 1023  df-tru 1471  df-ex 1693  df-nf 1697  df-sb 1829  df-eu 2357  df-mo 2358  df-clab 2492  df-cleq 2498  df-clel 2501  df-nfc 2635  df-ne 2677  df-nel 2678  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3068  df-sbc 3292  df-csb 3386  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3758  df-if 3909  df-pw 3980  df-sn 3996  df-pr 3998  df-tp 4000  df-op 4002  df-uni 4229  df-iun 4309  df-br 4435  df-opab 4494  df-mpt 4495  df-tr 4531  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4801  df-so 4802  df-fr 4839  df-we 4841  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-pred 5431  df-ord 5477  df-on 5478  df-lim 5479  df-suc 5480  df-iota 5597  df-fun 5635  df-fn 5636  df-f 5637  df-f1 5638  df-fo 5639  df-f1o 5640  df-fv 5641  df-riota 6325  df-ov 6366  df-oprab 6367  df-mpt2 6368  df-om 6770  df-1st 6870  df-2nd 6871  df-wrecs 7105  df-recs 7167  df-rdg 7205  df-er 7440  df-en 7653  df-dom 7654  df-sdom 7655  df-sup 8041  df-pnf 9762  df-mnf 9763  df-xr 9764  df-ltxr 9765  df-le 9766  df-sub 9949  df-neg 9950  df-div 10359  df-nn 10699  df-2 10757  df-3 10758  df-n0 10961  df-z 11029  df-uz 11250  df-q 11356  df-rp 11394  df-seq 12328  df-exp 12387  df-cj 13322  df-re 13323  df-im 13324  df-sqrt 13458  df-abs 13459
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator