MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nthruc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nthruc 14905
Description: The sequence , , , , and forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to but not , one-half belongs to but not , the square root of 2 belongs to but not , and finally that the imaginary number i belongs to but not . See nthruz 14906 for a further refinement. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nthruc ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))

Proof of Theorem nthruc
StepHypRef Expression
1 nnssz 11341 . . . 4 ℕ ⊆ ℤ
2 0z 11332 . . . . 5 0 ∈ ℤ
3 0nnn 10996 . . . . 5 ¬ 0 ∈ ℕ
42, 3pm3.2i 471 . . . 4 (0 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ∈ ℕ)
5 ssnelpss 3696 . . . 4 (ℕ ⊆ ℤ → ((0 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ∈ ℕ) → ℕ ⊊ ℤ))
61, 4, 5mp2 9 . . 3 ℕ ⊊ ℤ
7 zssq 11739 . . . 4 ℤ ⊆ ℚ
8 1z 11351 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
9 2nn 11129 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
10 znq 11736 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (1 / 2) ∈ ℚ)
118, 9, 10mp2an 707 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℚ
12 halfnz 11399 . . . . 5 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
1311, 12pm3.2i 471 . . . 4 ((1 / 2) ∈ ℚ ∧ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ)
14 ssnelpss 3696 . . . 4 (ℤ ⊆ ℚ → (((1 / 2) ∈ ℚ ∧ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ) → ℤ ⊊ ℚ))
157, 13, 14mp2 9 . . 3 ℤ ⊊ ℚ
166, 15pm3.2i 471 . 2 (ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ)
17 qssre 11742 . . . 4 ℚ ⊆ ℝ
18 sqrt2re 14904 . . . . 5 (√‘2) ∈ ℝ
19 sqrt2irr 14903 . . . . . 6 (√‘2) ∉ ℚ
2019neli 2895 . . . . 5 ¬ (√‘2) ∈ ℚ
2118, 20pm3.2i 471 . . . 4 ((√‘2) ∈ ℝ ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
22 ssnelpss 3696 . . . 4 (ℚ ⊆ ℝ → (((√‘2) ∈ ℝ ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ) → ℚ ⊊ ℝ))
2317, 21, 22mp2 9 . . 3 ℚ ⊊ ℝ
24 ax-resscn 9937 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
25 ax-icn 9939 . . . . 5 i ∈ ℂ
26 inelr 10954 . . . . 5 ¬ i ∈ ℝ
2725, 26pm3.2i 471 . . . 4 (i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ)
28 ssnelpss 3696 . . . 4 (ℝ ⊆ ℂ → ((i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ) → ℝ ⊊ ℂ))
2924, 27, 28mp2 9 . . 3 ℝ ⊊ ℂ
3023, 29pm3.2i 471 . 2 (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ)
3116, 30pm3.2i 471 1 ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 384  wcel 1987  wss 3555  wpss 3556  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881  ici 9882   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  cz 11321  cq 11732  csqrt 13907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator