MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsuceq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsuceq0 5774
Description: No successor is empty. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)
Assertion
Ref Expression
nsuceq0 suc 𝐴 ≠ ∅

Proof of Theorem nsuceq0
StepHypRef Expression
1 noel 3901 . . . 4 ¬ 𝐴 ∈ ∅
2 sucidg 5772 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3 eleq2 2687 . . . . 5 (suc 𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ suc 𝐴𝐴 ∈ ∅))
42, 3syl5ibcom 235 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ ∅))
51, 4mtoi 190 . . 3 (𝐴 ∈ V → ¬ suc 𝐴 = ∅)
6 0ex 4760 . . . . . 6 ∅ ∈ V
7 eleq1 2686 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
86, 7mpbiri 248 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ V)
98con3i 150 . . . 4 𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 = ∅)
10 sucprc 5769 . . . . 5 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)
1110eqeq1d 2623 . . . 4 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
129, 11mtbird 315 . . 3 𝐴 ∈ V → ¬ suc 𝐴 = ∅)
135, 12pm2.61i 176 . 2 ¬ suc 𝐴 = ∅
1413neir 2793 1 suc 𝐴 ≠ ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3190  c0 3897  suc csuc 5694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-nul 4759
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-v 3192  df-dif 3563  df-un 3565  df-nul 3898  df-sn 4156  df-suc 5698
This theorem is referenced by:  0elsuc  6997  peano3  7049  2on0  7529  oelim2  7635  limenpsi  8095  enp1i  8155  findcard2  8160  fseqdom  8809  dfac12lem2  8926  cfsuc  9039  cfpwsdom  9366  rankcf  9559  dfrdg2  31455  nosgnn0  31565  sltsolem1  31581  dfrdg4  31753
  Copyright terms: Public domain W3C validator