MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsuceq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsuceq0 5967
Description: No successor is empty. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)
Assertion
Ref Expression
nsuceq0 suc 𝐴 ≠ ∅

Proof of Theorem nsuceq0
StepHypRef Expression
1 noel 4063 . . . 4 ¬ 𝐴 ∈ ∅
2 sucidg 5965 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3 eleq2 2829 . . . . 5 (suc 𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ suc 𝐴𝐴 ∈ ∅))
42, 3syl5ibcom 235 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ ∅))
51, 4mtoi 190 . . 3 (𝐴 ∈ V → ¬ suc 𝐴 = ∅)
6 0ex 4943 . . . . . 6 ∅ ∈ V
7 eleq1 2828 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
86, 7mpbiri 248 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ V)
98con3i 150 . . . 4 𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 = ∅)
10 sucprc 5962 . . . . 5 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)
1110eqeq1d 2763 . . . 4 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
129, 11mtbird 314 . . 3 𝐴 ∈ V → ¬ suc 𝐴 = ∅)
135, 12pm2.61i 176 . 2 ¬ suc 𝐴 = ∅
1413neir 2936 1 suc 𝐴 ≠ ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  Vcvv 3341  c0 4059  suc csuc 5887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-nul 4942
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-v 3343  df-dif 3719  df-un 3721  df-nul 4060  df-sn 4323  df-suc 5891
This theorem is referenced by:  0elsuc  7202  peano3  7254  2on0  7741  oelim2  7847  limenpsi  8303  enp1i  8363  findcard2  8368  fseqdom  9060  dfac12lem2  9179  cfsuc  9292  cfpwsdom  9619  rankcf  9812  dfrdg2  32028  nosgnn0  32139  sltsolem1  32154  dfrdg4  32386
  Copyright terms: Public domain W3C validator