MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsgacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgacs 17851
Description: Normal subgroups form an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgacs.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nsgacs (𝐺 ∈ Grp → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem nsgacs
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgacs.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐺)
21subgss 17816 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠𝐵)
3 selpw 4309 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠𝐵)
42, 3sylibr 224 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
5 eleq2w 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑠 → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
65raleqbi1dv 3285 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑠 → (∀𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑦𝑠 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
76ralbidv 3124 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑠 → (∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝑠 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
87elrab3 3505 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝑠 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
94, 8syl 17 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝑠 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
109bicomd 213 . . . . 5 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (∀𝑥𝐵𝑦𝑠 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
1110pm5.32i 672 . . . 4 ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝑠 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
12 eqid 2760 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
13 eqid 2760 . . . . 5 (-g𝐺) = (-g𝐺)
141, 12, 13isnsg3 17849 . . . 4 (𝑠 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝑠 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
15 elin 3939 . . . 4 (𝑠 ∈ ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
1611, 14, 153bitr4i 292 . . 3 (𝑠 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ 𝑠 ∈ ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
1716eqriv 2757 . 2 (NrmSGrp‘𝐺) = ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧})
18 fvex 6363 . . . . 5 (Base‘𝐺) ∈ V
191, 18eqeltri 2835 . . . 4 𝐵 ∈ V
20 mreacs 16540 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
2119, 20mp1i 13 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
221subgacs 17850 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
23 simpl 474 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
241, 12grpcl 17651 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
25243expb 1114 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
26 simprl 811 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
271, 13grpsubcl 17716 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵𝑥𝐵) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
2823, 25, 26, 27syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
2928ralrimivva 3109 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
30 acsfn1c 16544 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵) → {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ∈ (ACS‘𝐵))
3119, 29, 30sylancr 698 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ∈ (ACS‘𝐵))
32 mreincl 16481 . . 3 (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}) ∈ (ACS‘𝐵))
3321, 22, 31, 32syl3anc 1477 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}) ∈ (ACS‘𝐵))
3417, 33syl5eqel 2843 1 (𝐺 ∈ Grp → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  {crab 3054  Vcvv 3340  cin 3714  wss 3715  𝒫 cpw 4302  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  Moorecmre 16464  ACScacs 16467  Grpcgrp 17643  -gcsg 17645  SubGrpcsubg 17809  NrmSGrpcnsg 17810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-nsg 17813
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator