Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgtrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrgtrg 22541
 Description: A normed ring is a topological ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrgtrg (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopRing)

Proof of Theorem nrgtrg
StepHypRef Expression
1 nrgtgp 22523 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopGrp)
2 nrgring 22514 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2651 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
43ringmgp 18599 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
52, 4syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
6 tgptps 21931 . . . . . 6 (𝑅 ∈ TopGrp → 𝑅 ∈ TopSp)
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopSp)
8 eqid 2651 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9 eqid 2651 . . . . . 6 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
108, 9istps 20786 . . . . 5 (𝑅 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
117, 10sylib 208 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing → (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
123, 8mgpbas 18541 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
133, 9mgptopn 18544 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘(mulGrp‘𝑅))
1412, 13istps 20786 . . . 4 ((mulGrp‘𝑅) ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
1511, 14sylibr 224 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopSp)
16 rlmnlm 22539 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing → (ringLMod‘𝑅) ∈ NrmMod)
17 rlmsca2 19249 . . . . 5 ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
18 rlmscaf 19256 . . . . 5 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))
19 rlmtopn 19251 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘(ringLMod‘𝑅))
20 df-base 15910 . . . . . . . . 9 Base = Slot 1
2120, 8strfvi 15960 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘( I ‘𝑅))
2221a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘( I ‘𝑅)))
23 df-tset 16007 . . . . . . . . 9 TopSet = Slot 9
24 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘𝑅)
2523, 24strfvi 15960 . . . . . . . 8 (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘( I ‘𝑅))
2625a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘( I ‘𝑅)))
2722, 26topnpropd 16144 . . . . . 6 (⊤ → (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘( I ‘𝑅)))
2827trud 1533 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘( I ‘𝑅))
2917, 18, 19, 28nlmvscn 22538 . . . 4 ((ringLMod‘𝑅) ∈ NrmMod → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ×t (TopOpen‘𝑅)) Cn (TopOpen‘𝑅)))
3016, 29syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ×t (TopOpen‘𝑅)) Cn (TopOpen‘𝑅)))
31 eqid 2651 . . . 4 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅))
3231, 13istmd 21925 . . 3 ((mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ TopSp ∧ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ×t (TopOpen‘𝑅)) Cn (TopOpen‘𝑅))))
335, 15, 30, 32syl3anbrc 1265 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
343istrg 22014 . 2 (𝑅 ∈ TopRing ↔ (𝑅 ∈ TopGrp ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd))
351, 2, 33, 34syl3anbrc 1265 1 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopRing)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030   I cid 5052  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975  9c9 11115  Basecbs 15904  TopSetcts 15994  TopOpenctopn 16129  +𝑓cplusf 17286  Mndcmnd 17341  mulGrpcmgp 18535  Ringcrg 18593  ringLModcrglmod 19217  TopOnctopon 20763  TopSpctps 20784   Cn ccn 21076   ×t ctx 21411  TopMndctmd 21921  TopGrpctgp 21922  TopRingctrg 22006  NrmRingcnrg 22431  NrmModcnlm 22432 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-plusf 17288  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-subrg 18826  df-abv 18865  df-lmod 18913  df-scaf 18914  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-tmd 21923  df-tgp 21924  df-trg 22010  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-nrg 22437  df-nlm 22438 This theorem is referenced by:  nrgtdrg  22544  nlmtlm  22545  iistmd  30076  qqhcn  30163
 Copyright terms: Public domain W3C validator