Theorem nqerid 9793

Description: Corollary of nqereu 9789: the function [Q] acts as the identity on members of Q. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nqerid	⊢ (𝐴 ∈ Q → ([Q]‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem nqerid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqerf 9790	. . 3 ⊢ [Q]:(N × N)⟶Q
2		ffun 6086	. . 3 ⊢ ([Q]:(N × N)⟶Q → Fun [Q])
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Fun [Q]
4		elpqn 9785	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴 ∈ (N × N))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴 ∈ Q)
6		enqer 9781	. . . . 5 ⊢ ~Q Er (N × N)
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ~Q Er (N × N))
8	7, 4	erref 7807	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴 ~Q 𝐴)
9		df-erq 9773	. . . . 5 ⊢ [Q] = ( ~Q ∩ ((N × N) × Q))
10	9	breqi 4691	. . . 4 ⊢ (𝐴[Q]𝐴 ↔ 𝐴( ~Q ∩ ((N × N) × Q))𝐴)
11		brinxp2 5214	. . . 4 ⊢ (𝐴( ~Q ∩ ((N × N) × Q))𝐴 ↔ (𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐴))
12	10, 11	bitri 264	. . 3 ⊢ (𝐴[Q]𝐴 ↔ (𝐴 ∈ (N × N) ∧ 𝐴 ∈ Q ∧ 𝐴 ~Q 𝐴))
13	4, 5, 8, 12	syl3anbrc 1265	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → 𝐴[Q]𝐴)
14		funbrfv 6272	. 2 ⊢ (Fun [Q] → (𝐴[Q]𝐴 → ([Q]‘𝐴) = 𝐴))
15	3, 13, 14	mpsyl 68	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ([Q]‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∩ cin 3606   class class class wbr 4685   × cxp 5141  Fun wfun 5920  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926   Er wer 7784  Ncnpi 9704   ~_Q ceq 9711  Qcnq 9712  [Q]cerq 9714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-ni 9732  df-mi 9734  df-lti 9735  df-enq 9771  df-nq 9772  df-erq 9773  df-1nq 9776

This theorem is referenced by:  addassnq  9818  mulassnq  9819  distrnq  9821  mulidnq  9823  recmulnq  9824  1lt2nq  9833  ltexnq  9835  prlem934  9893