MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  npcand Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem npcand 10602
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
npcand (𝜑 → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 npcan 10496 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
41, 2, 3syl2anc 573 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6796  cc 10140   + caddc 10145  cmin 10472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-ltxr 10285  df-sub 10474
This theorem is referenced by:  addlsub  10653  npcan1  10661  ltsubadd  10704  lesubadd  10706  lesub1  10728  lincmb01cmp  12522  expaddzlem  13110  bcpasc  13312  bcn2m1  13315  swrdccatwrd  13677  cshwidxmod  13758  swrds2m  13895  shftuz  14017  o1dif  14568  arisum2  14800  ntrivcvg  14836  ntrivcvgtail  14839  prodrblem  14866  fprodser  14886  fprodm1  14904  risefacval2  14947  fallfacval2  14948  fallfacfwd  14973  binomfallfaclem2  14977  sin01bnd  15121  moddvds  15200  dvdsexp  15258  bitscmp  15368  hashdvds  15687  vdwlem5  15896  vdwlem6  15897  vdwlem8  15899  srgbinomlem4  18751  uniioombllem3  23573  i1faddlem  23680  itg1addlem4  23686  dvcnp2  23903  ftc1lem4  24022  dgrcolem2  24250  plydivlem4  24271  aaliou3lem8  24320  dvtaylp  24344  dvntaylp0  24346  taylthlem1  24347  efif1olem4  24512  tanarg  24586  quart1  24804  dmgmaddnn0  24974  lgamgulm2  24983  gamfac  25014  basellem9  25036  chtublem  25157  logexprlim  25171  dchrptlem1  25210  lgsquadlem1  25326  mudivsum  25440  logsqvma  25452  log2sumbnd  25454  selberglem2  25456  pntrlog2bndlem5  25491  pntlem3  25519  ostth2lem2  25544  brbtwn2  26006  cusgrsize2inds  26584  clwlkclwwlklem2  27150  clwwisshclwws  27165  clwwlkel  27202  clwwlkf  27203  clwwlknonex2lem1  27283  2clwwlk2clwwlk  27534  numclwwlk2  27572  numclwwlk2OLD  27579  fzspl  29890  fzsplit3  29893  bcm1n  29894  omndmul3  30053  psgnfzto1stlem  30190  ballotlemfc0  30894  ballotlemfcc  30895  signstfvn  30986  reprsuc  31033  breprexplemc  31050  bcm1nt  31961  itg2addnclem  33793  ftc1cnnclem  33815  ftc1anc  33825  caushft  33889  pellexlem6  37924  rmspecfund  38000  rmyluc  38028  jm2.18  38081  jm2.25  38092  hbtlem4  38222  bccm1k  39067  binomcxplemwb  39073  binomcxplemnotnn0  39081  oddfl  40004  zltlesub  40012  fzisoeu  40028  fperiodmul  40032  fzdifsuc2  40038  iccshift  40260  iooshift  40264  fmul01lt1lem2  40332  limcperiod  40375  sumnnodd  40377  cncfperiod  40607  fperdvper  40648  dvbdfbdioolem2  40659  dvnmul  40673  itgsinexp  40685  itgperiod  40711  stoweidlem11  40742  stoweidlem14  40745  stoweidlem26  40757  stoweidlem34  40765  wallispilem5  40800  stirlinglem5  40809  stirlinglem11  40815  stirlinglem12  40816  dirkercncflem1  40834  fourierdlem11  40849  fourierdlem15  40853  fourierdlem26  40864  fourierdlem41  40879  fourierdlem42  40880  fourierdlem48  40885  fourierdlem49  40886  fourierdlem63  40900  fourierdlem64  40901  fourierdlem65  40902  fourierdlem74  40911  fourierdlem75  40912  fourierdlem79  40916  fourierdlem81  40918  fourierdlem84  40921  fourierdlem88  40925  fourierdlem90  40927  fourierdlem92  40929  fourierdlem95  40932  fourierdlem97  40934  fourierdlem103  40940  fourierdlem104  40941  fourierdlem109  40946  fourierdlem111  40948  fourierswlem  40961  fouriersw  40962  elaa2lem  40964  etransclem23  40988  etransclem24  40989  etransclem28  40993  etransclem38  41003  smfmullem1  41515  fargshiftfo  41903  ccatpfx  41934  lighneallem3  42049  nnsum4primeseven  42213  nnsum4primesevenALTV  42214  bgoldbtbndlem4  42221  bgoldbtbnd  42222  m1modmmod  42841  dignn0flhalflem1  42934
  Copyright terms: Public domain W3C validator