Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  noxp1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noxp1o 32143
Description: The Cartesian product of an ordinal and {1𝑜} is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
noxp1o (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1𝑜}) ∈ No )

Proof of Theorem noxp1o
StepHypRef Expression
1 1oex 7738 . . . . . 6 1𝑜 ∈ V
21prid1 4441 . . . . 5 1𝑜 ∈ {1𝑜, 2𝑜}
32fconst6 6256 . . . 4 (𝐴 × {1𝑜}):𝐴⟶{1𝑜, 2𝑜}
41snnz 4452 . . . . . 6 {1𝑜} ≠ ∅
5 dmxp 5499 . . . . . 6 ({1𝑜} ≠ ∅ → dom (𝐴 × {1𝑜}) = 𝐴)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 dom (𝐴 × {1𝑜}) = 𝐴
76feq2i 6198 . . . 4 ((𝐴 × {1𝑜}):dom (𝐴 × {1𝑜})⟶{1𝑜, 2𝑜} ↔ (𝐴 × {1𝑜}):𝐴⟶{1𝑜, 2𝑜})
83, 7mpbir 221 . . 3 (𝐴 × {1𝑜}):dom (𝐴 × {1𝑜})⟶{1𝑜, 2𝑜}
98a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1𝑜}):dom (𝐴 × {1𝑜})⟶{1𝑜, 2𝑜})
106eleq1i 2830 . . 3 (dom (𝐴 × {1𝑜}) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On)
1110biimpri 218 . 2 (𝐴 ∈ On → dom (𝐴 × {1𝑜}) ∈ On)
12 elno3 32135 . 2 ((𝐴 × {1𝑜}) ∈ No ↔ ((𝐴 × {1𝑜}):dom (𝐴 × {1𝑜})⟶{1𝑜, 2𝑜} ∧ dom (𝐴 × {1𝑜}) ∈ On))
139, 11, 12sylanbrc 701 1 (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1𝑜}) ∈ No )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  c0 4058  {csn 4321  {cpr 4323   × cxp 5264  dom cdm 5266  Oncon0 5884  wf 6045  1𝑜c1o 7723  2𝑜c2o 7724   No csur 32120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-1o 7730  df-no 32123
This theorem is referenced by:  bdayfo  32155
  Copyright terms: Public domain W3C validator