Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nosepeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nosepeq 32172
Description: The values of two surreals at a point less than their separators are equal. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
nosepeq (((𝐴 No 𝐵 No 𝐴𝐵) ∧ 𝑋 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)}) → (𝐴𝑋) = (𝐵𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋

Proof of Theorem nosepeq
StepHypRef Expression
1 nosepon 32155 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐴𝐵) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)} ∈ On)
2 onelon 5890 . . . 4 (( {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)} ∈ On ∧ 𝑋 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)}) → 𝑋 ∈ On)
31, 2sylan 569 . . 3 (((𝐴 No 𝐵 No 𝐴𝐵) ∧ 𝑋 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)}) → 𝑋 ∈ On)
4 simpr 471 . . 3 (((𝐴 No 𝐵 No 𝐴𝐵) ∧ 𝑋 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)}) → 𝑋 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)})
5 fveq2 6333 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑋))
6 fveq2 6333 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑋))
75, 6neeq12d 3004 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥) ↔ (𝐴𝑋) ≠ (𝐵𝑋)))
87onnminsb 7155 . . 3 (𝑋 ∈ On → (𝑋 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)} → ¬ (𝐴𝑋) ≠ (𝐵𝑋)))
93, 4, 8sylc 65 . 2 (((𝐴 No 𝐵 No 𝐴𝐵) ∧ 𝑋 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)}) → ¬ (𝐴𝑋) ≠ (𝐵𝑋))
10 df-ne 2944 . . 3 ((𝐴𝑋) ≠ (𝐵𝑋) ↔ ¬ (𝐴𝑋) = (𝐵𝑋))
1110con2bii 346 . 2 ((𝐴𝑋) = (𝐵𝑋) ↔ ¬ (𝐴𝑋) ≠ (𝐵𝑋))
129, 11sylibr 224 1 (((𝐴 No 𝐵 No 𝐴𝐵) ∧ 𝑋 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥)}) → (𝐴𝑋) = (𝐵𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  {crab 3065   cint 4612  Oncon0 5865  cfv 6030   No csur 32130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-ord 5868  df-on 5869  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-1o 7717  df-2o 7718  df-no 32133
This theorem is referenced by:  nosepssdm  32173  nodenselem7  32177
  Copyright terms: Public domain W3C validator