HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normpythi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normpythi 28339
Description: Analogy to Pythagorean theorem for orthogonal vectors. Remark 3.4(C) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 17-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normsub.1 𝐴 ∈ ℋ
normsub.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
normpythi ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2)))

Proof of Theorem normpythi
StepHypRef Expression
1 normsub.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
2 normsub.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
31, 2, 1, 2normlem8 28314 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴)))
4 id 22 . . . . . . 7 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
5 orthcom 28305 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
61, 2, 5mp2an 672 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0)
76biimpi 206 . . . . . . 7 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0)
84, 7oveq12d 6811 . . . . . 6 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴)) = (0 + 0))
9 00id 10413 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
108, 9syl6eq 2821 . . . . 5 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴)) = 0)
1110oveq2d 6809 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴))) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + 0))
121, 1hicli 28278 . . . . . 6 (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℂ
132, 2hicli 28278 . . . . . 6 (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
1412, 13addcli 10246 . . . . 5 ((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
1514addid1i 10425 . . . 4 (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + 0) = ((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵))
1611, 15syl6eq 2821 . . 3 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴))) = ((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
173, 16syl5eq 2817 . 2 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
181, 2hvaddcli 28215 . . 3 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ
1918normsqi 28329 . 2 ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵))
201normsqi 28329 . . 3 ((norm𝐴)↑2) = (𝐴 ·ih 𝐴)
212normsqi 28329 . . 3 ((norm𝐵)↑2) = (𝐵 ·ih 𝐵)
2220, 21oveq12i 6805 . 2 (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵))
2317, 19, 223eqtr4g 2830 1 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138   + caddc 10141  2c2 11272  cexp 13067  chil 28116   + cva 28117   ·ih csp 28119  normcno 28120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-hfvadd 28197  ax-hv0cl 28200  ax-hvmul0 28207  ax-hfi 28276  ax-his1 28279  ax-his2 28280  ax-his3 28281  ax-his4 28282
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-hnorm 28165
This theorem is referenced by:  normpyth  28342  pjopythi  28918
  Copyright terms: Public domain W3C validator