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Theorem normlem1 28307
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 22-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3 𝐺 ∈ ℋ
normlem1.4 𝑅 ∈ ℝ
normlem1.5 (abs‘𝑆) = 1
Assertion
Ref Expression
normlem1 ((𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)) ·ih (𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Proof of Theorem normlem1
StepHypRef Expression
1 normlem1.1 . . . 4 𝑆 ∈ ℂ
2 normlem1.4 . . . . 5 𝑅 ∈ ℝ
32recni 10258 . . . 4 𝑅 ∈ ℂ
41, 3mulcli 10251 . . 3 (𝑆 · 𝑅) ∈ ℂ
5 normlem1.2 . . 3 𝐹 ∈ ℋ
6 normlem1.3 . . 3 𝐺 ∈ ℋ
74, 5, 6normlem0 28306 . 2 ((𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)) ·ih (𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
81, 3cjmuli 14137 . . . . . . . 8 (∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))
93cjrebi 14122 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ ↔ (∗‘𝑅) = 𝑅)
102, 9mpbi 220 . . . . . . . . 9 (∗‘𝑅) = 𝑅
1110oveq2i 6807 . . . . . . . 8 ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅)) = ((∗‘𝑆) · 𝑅)
128, 11eqtri 2793 . . . . . . 7 (∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · 𝑅)
1312negeqi 10480 . . . . . 6 -(∗‘(𝑆 · 𝑅)) = -((∗‘𝑆) · 𝑅)
141cjcli 14117 . . . . . . 7 (∗‘𝑆) ∈ ℂ
1514, 3mulneg2i 10683 . . . . . 6 ((∗‘𝑆) · -𝑅) = -((∗‘𝑆) · 𝑅)
1613, 15eqtr4i 2796 . . . . 5 -(∗‘(𝑆 · 𝑅)) = ((∗‘𝑆) · -𝑅)
1716oveq1i 6806 . . . 4 (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))
1817oveq2i 6807 . . 3 ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
191, 3mulneg2i 10683 . . . . . 6 (𝑆 · -𝑅) = -(𝑆 · 𝑅)
2019eqcomi 2780 . . . . 5 -(𝑆 · 𝑅) = (𝑆 · -𝑅)
2120oveq1i 6806 . . . 4 (-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) = ((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹))
228oveq2i 6807 . . . . . . 7 ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅)))
233cjcli 14117 . . . . . . . . 9 (∗‘𝑅) ∈ ℂ
241, 3, 14, 23mul4i 10439 . . . . . . . 8 ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅)))
25 normlem1.5 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘𝑆) = 1
2625oveq1i 6806 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘𝑆)↑2) = (1↑2)
271absvalsqi 14340 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘𝑆)↑2) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
28 sq1 13165 . . . . . . . . . . 11 (1↑2) = 1
2926, 27, 283eqtr3i 2801 . . . . . . . . . 10 (𝑆 · (∗‘𝑆)) = 1
3010oveq2i 6807 . . . . . . . . . 10 (𝑅 · (∗‘𝑅)) = (𝑅 · 𝑅)
3129, 30oveq12i 6808 . . . . . . . . 9 ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅))) = (1 · (𝑅 · 𝑅))
323, 3mulcli 10251 . . . . . . . . . 10 (𝑅 · 𝑅) ∈ ℂ
3332mulid2i 10249 . . . . . . . . 9 (1 · (𝑅 · 𝑅)) = (𝑅 · 𝑅)
3431, 33eqtri 2793 . . . . . . . 8 ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝑅 · (∗‘𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
3524, 34eqtri 2793 . . . . . . 7 ((𝑆 · 𝑅) · ((∗‘𝑆) · (∗‘𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
3622, 35eqtri 2793 . . . . . 6 ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = (𝑅 · 𝑅)
373sqvali 13150 . . . . . 6 (𝑅↑2) = (𝑅 · 𝑅)
3836, 37eqtr4i 2796 . . . . 5 ((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) = (𝑅↑2)
3938oveq1i 6806 . . . 4 (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))
4021, 39oveq12i 6808 . . 3 ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺))) = (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
4118, 40oveq12i 6808 . 2 (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘(𝑆 · 𝑅)) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-(𝑆 · 𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (((𝑆 · 𝑅) · (∗‘(𝑆 · 𝑅))) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
427, 41eqtri 2793 1 ((𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺)) ·ih (𝐹 ((𝑆 · 𝑅) · 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (((∗‘𝑆) · -𝑅) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (((𝑆 · -𝑅) · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑅↑2) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  cr 10141  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147  -cneg 10473  2c2 11276  cexp 13067  ccj 14044  abscabs 14182  chil 28116   · csm 28118   ·ih csp 28119   cmv 28122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-hfvadd 28197  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulass 28204  ax-hfi 28276  ax-his1 28279  ax-his2 28280  ax-his3 28281
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-hvsub 28168
This theorem is referenced by:  normlem4  28310
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