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Theorem normlem0 28267
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 7-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3 𝐺 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
normlem0 ((𝐹 (𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 (𝑆 · 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Proof of Theorem normlem0
StepHypRef Expression
1 normlem1.2 . . . . 5 𝐹 ∈ ℋ
2 normlem1.1 . . . . . 6 𝑆 ∈ ℂ
3 normlem1.3 . . . . . 6 𝐺 ∈ ℋ
42, 3hvmulcli 28172 . . . . 5 (𝑆 · 𝐺) ∈ ℋ
51, 4hvsubvali 28178 . . . 4 (𝐹 (𝑆 · 𝐺)) = (𝐹 + (-1 · (𝑆 · 𝐺)))
62mulm1i 10659 . . . . . . 7 (-1 · 𝑆) = -𝑆
76oveq1i 6815 . . . . . 6 ((-1 · 𝑆) · 𝐺) = (-𝑆 · 𝐺)
8 neg1cn 11308 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
98, 2, 3hvmulassi 28204 . . . . . 6 ((-1 · 𝑆) · 𝐺) = (-1 · (𝑆 · 𝐺))
107, 9eqtr3i 2776 . . . . 5 (-𝑆 · 𝐺) = (-1 · (𝑆 · 𝐺))
1110oveq2i 6816 . . . 4 (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) = (𝐹 + (-1 · (𝑆 · 𝐺)))
125, 11eqtr4i 2777 . . 3 (𝐹 (𝑆 · 𝐺)) = (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))
1312, 12oveq12i 6817 . 2 ((𝐹 (𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 (𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)))
142negcli 10533 . . . 4 -𝑆 ∈ ℂ
1514, 3hvmulcli 28172 . . 3 (-𝑆 · 𝐺) ∈ ℋ
161, 15hvaddcli 28176 . . 3 (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ∈ ℋ
17 ax-his2 28241 . . 3 ((𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 · 𝐺) ∈ ℋ ∧ (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ∈ ℋ) → ((𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) + ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)))))
181, 15, 16, 17mp3an 1565 . 2 ((𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) + ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))))
19 his7 28248 . . . . 5 ((𝐹 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 · 𝐺) ∈ ℋ) → (𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺))))
201, 1, 15, 19mp3an 1565 . . . 4 (𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺)))
21 his5 28244 . . . . . . 7 ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ 𝐺 ∈ ℋ) → (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
2214, 1, 3, 21mp3an 1565 . . . . . 6 (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
232cjnegi 14113 . . . . . . 7 (∗‘-𝑆) = -(∗‘𝑆)
2423oveq1i 6815 . . . . . 6 ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
2522, 24eqtri 2774 . . . . 5 (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺)) = (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
2625oveq2i 6816 . . . 4 ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
2720, 26eqtri 2774 . . 3 (𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
28 ax-his3 28242 . . . . 5 ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℋ ∧ (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ∈ ℋ) → ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)))))
2914, 3, 16, 28mp3an 1565 . . . 4 ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))))
30 his7 28248 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 · 𝐺) ∈ ℋ) → (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 · 𝐺))))
313, 1, 15, 30mp3an 1565 . . . . . 6 (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 · 𝐺)))
32 his5 28244 . . . . . . . 8 ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℋ ∧ 𝐺 ∈ ℋ) → (𝐺 ·ih (-𝑆 · 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
3314, 3, 3, 32mp3an 1565 . . . . . . 7 (𝐺 ·ih (-𝑆 · 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))
3433oveq2i 6816 . . . . . 6 ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
3531, 34eqtri 2774 . . . . 5 (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
3635oveq2i 6816 . . . 4 (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)))) = (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
373, 1hicli 28239 . . . . . 6 (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
3814cjcli 14100 . . . . . . 7 (∗‘-𝑆) ∈ ℂ
393, 3hicli 28239 . . . . . . 7 (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
4038, 39mulcli 10229 . . . . . 6 ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
4114, 37, 40adddii 10234 . . . . 5 (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
4214, 38, 39mulassi 10233 . . . . . . 7 ((-𝑆 · (∗‘-𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
4323oveq2i 6816 . . . . . . . . 9 (-𝑆 · (∗‘-𝑆)) = (-𝑆 · -(∗‘𝑆))
442cjcli 14100 . . . . . . . . . 10 (∗‘𝑆) ∈ ℂ
452, 44mul2negi 10662 . . . . . . . . 9 (-𝑆 · -(∗‘𝑆)) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
4643, 45eqtri 2774 . . . . . . . 8 (-𝑆 · (∗‘-𝑆)) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
4746oveq1i 6815 . . . . . . 7 ((-𝑆 · (∗‘-𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))
4842, 47eqtr3i 2776 . . . . . 6 (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))
4948oveq2i 6816 . . . . 5 ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
5041, 49eqtri 2774 . . . 4 (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
5129, 36, 503eqtri 2778 . . 3 ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
5227, 51oveq12i 6817 . 2 ((𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) + ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
5313, 18, 523eqtri 2778 1 ((𝐹 (𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 (𝑆 · 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1624  wcel 2131  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125  -cneg 10451  ccj 14027  chil 28077   + cva 28078   · csm 28079   ·ih csp 28080   cmv 28083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-hfvadd 28158  ax-hfvmul 28163  ax-hvmulass 28165  ax-hfi 28237  ax-his1 28240  ax-his2 28241  ax-his3 28242
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-2 11263  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-hvsub 28129
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