Theorem normcl 28289

Description: Real closure of the norm of a vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normcl	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem normcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normf 28287	. 2 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
2	1	ffvelrni 6519	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2137  ‘cfv 6047  ℝcr 10125   ℋchil 28083  norm_ℎcno 28087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204  ax-hv0cl 28167  ax-hvmul0 28174  ax-hfi 28243  ax-his1 28246  ax-his3 28248  ax-his4 28249

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-sup 8511  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-rp 12024  df-seq 12994  df-exp 13053  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-hnorm 28132

This theorem is referenced by:  norm-i  28293  normcli  28295  normpyc  28310  hhph  28342  bcs2  28346  norm1  28413  norm1exi  28414  pjhthlem1  28557  chscllem2  28804  pjige0i  28856  pjnorm2  28893  nmopsetretALT  29029  nmopub2tALT  29075  nmopge0  29077  unopnorm  29083  nmfnleub2  29092  eigvalcl  29127  nmlnop0iALT  29161  nmbdoplbi  29190  nmcexi  29192  nmcopexi  29193  nmcoplbi  29194  nmophmi  29197  lnconi  29199  lnopconi  29200  nmbdfnlbi  29215  nmcfnlbi  29218  riesz4i  29229  riesz1  29231  cnlnadjlem2  29234  cnlnadjlem7  29239  nmopadjlem  29255  nmoptrii  29260  nmopcoi  29261  nmopcoadji  29267  branmfn  29271  brabn  29272  leopnmid  29304  pjnmopi  29314  pjnormssi  29334  pjssposi  29338  hstle1  29392  hst1h  29393  hstle  29396  hstles  29397  hstoh  29398  strlem1  29416  strlem3a  29418  strlem5  29421  hstrlem6  29430  jplem1  29434  cdj1i  29599  cdj3lem1  29600  cdj3lem2b  29603  cdj3lem3b  29606  cdj3i  29607