HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm3lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem norm3lem 28346
Description: Lemma involving norm of differences in Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
norm3dif.1 𝐴 ∈ ℋ
norm3dif.2 𝐵 ∈ ℋ
norm3dif.3 𝐶 ∈ ℋ
norm3lem.4 𝐷 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
norm3lem (((norm‘(𝐴 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(𝐴 𝐵)) < 𝐷)

Proof of Theorem norm3lem
StepHypRef Expression
1 norm3dif.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
2 norm3dif.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
3 norm3dif.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℋ
41, 2, 3norm3difi 28344 . . 3 (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵)))
51, 3hvsubcli 28218 . . . . 5 (𝐴 𝐶) ∈ ℋ
65normcli 28328 . . . 4 (norm‘(𝐴 𝐶)) ∈ ℝ
73, 2hvsubcli 28218 . . . . 5 (𝐶 𝐵) ∈ ℋ
87normcli 28328 . . . 4 (norm‘(𝐶 𝐵)) ∈ ℝ
9 norm3lem.4 . . . . 5 𝐷 ∈ ℝ
109rehalfcli 11483 . . . 4 (𝐷 / 2) ∈ ℝ
116, 8, 10, 10lt2addi 10792 . . 3 (((norm‘(𝐴 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
121, 2hvsubcli 28218 . . . . 5 (𝐴 𝐵) ∈ ℋ
1312normcli 28328 . . . 4 (norm‘(𝐴 𝐵)) ∈ ℝ
146, 8readdcli 10255 . . . 4 ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵))) ∈ ℝ
1510, 10readdcli 10255 . . . 4 ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) ∈ ℝ
1613, 14, 15lelttri 10366 . . 3 (((norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵))) ∧ ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))) → (norm‘(𝐴 𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
174, 11, 16sylancr 575 . 2 (((norm‘(𝐴 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(𝐴 𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
1810recni 10254 . . . 4 (𝐷 / 2) ∈ ℂ
19182timesi 11349 . . 3 (2 · (𝐷 / 2)) = ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))
209recni 10254 . . . 4 𝐷 ∈ ℂ
21 2cn 11293 . . . 4 2 ∈ ℂ
22 2ne0 11315 . . . 4 2 ≠ 0
2320, 21, 22divcan2i 10970 . . 3 (2 · (𝐷 / 2)) = 𝐷
2419, 23eqtr3i 2795 . 2 ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) = 𝐷
2517, 24syl6breq 4827 1 (((norm‘(𝐴 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(𝐴 𝐵)) < 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cr 10137   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276  cle 10277   / cdiv 10886  2c2 11272  chil 28116  normcno 28120   cmv 28122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hv0cl 28200  ax-hvaddid 28201  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulid 28203  ax-hvmulass 28204  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207  ax-hfi 28276  ax-his1 28279  ax-his2 28280  ax-his3 28281  ax-his4 28282
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-hnorm 28165  df-hvsub 28168
This theorem is referenced by:  norm3lemt  28349
  Copyright terms: Public domain W3C validator