Theorem norm1exi 28235

Description: A normalized vector exists in a subspace iff the subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
norm1ex.1	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
norm1exi	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑦,𝐻

Proof of Theorem norm1exi

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 2885	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 0ℎ ↔ 𝑧 ≠ 0ℎ))
2	1	cbvrexv 3202	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ)
3		norm1ex.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
4	3	sheli 28199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → 𝑧 ∈ ℋ)
5		normcl 28110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ)
8		normne0 28115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑧) ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ 0ℎ))
9	4, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → ((normℎ‘𝑧) ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ 0ℎ))
10	9	biimpar 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘𝑧) ≠ 0)
11	7, 10	rereccld 10890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (1 / (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 10106	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (1 / (normℎ‘𝑧)) ∈ ℂ)
13		simpl 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → 𝑧 ∈ 𝐻)
14		shmulcl 28203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (1 / (normℎ‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐻)
15	3, 14	mp3an1 1451	. . . . . 6 ⊢ (((1 / (normℎ‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐻)
16	12, 13, 15	syl2anc 694	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → ((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐻)
17		norm1 28234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧)) = 1)
18	4, 17	sylan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧)) = 1)
19		fveq2 6229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) → (normℎ‘𝑦) = (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧)))
20	19	eqeq1d 2653	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) → ((normℎ‘𝑦) = 1 ↔ (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧)) = 1))
21	20	rspcev 3340	. . . . 5 ⊢ ((((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧)) = 1) → ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
22	16, 18, 21	syl2anc 694	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
23	22	rexlimiva 3057	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ → ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
24		ax-1ne0 10043	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
25	24	neii 2825	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 = 0
26		eqeq1 2655	. . . . . . 7 ⊢ ((normℎ‘𝑦) = 1 → ((normℎ‘𝑦) = 0 ↔ 1 = 0))
27	25, 26	mtbiri 316	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘𝑦) = 1 → ¬ (normℎ‘𝑦) = 0)
28	3	sheli 28199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → 𝑦 ∈ ℋ)
29		norm-i 28114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑦) = 0 ↔ 𝑦 = 0ℎ))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → ((normℎ‘𝑦) = 0 ↔ 𝑦 = 0ℎ))
31	30	necon3bbid 2860	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → (¬ (normℎ‘𝑦) = 0 ↔ 𝑦 ≠ 0ℎ))
32	27, 31	syl5ib 234	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → ((normℎ‘𝑦) = 1 → 𝑦 ≠ 0ℎ))
33	32	reximia 3038	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1 → ∃𝑦 ∈ 𝐻 𝑦 ≠ 0ℎ)
34		neeq1 2885	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≠ 0ℎ ↔ 𝑧 ≠ 0ℎ))
35	34	cbvrexv 3202	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 𝑦 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ)
36	33, 35	sylib 208	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1 → ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ)
37	23, 36	impbii 199	. 2 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
38	2, 37	bitri 264	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   / cdiv 10722   ℋchil 27904   ·_ℎ csm 27906  norm_ℎcno 27908  0_ℎc0v 27909   S_ℋ csh 27913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hv0cl 27988  ax-hfvmul 27990  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his3 28069  ax-his4 28070

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-hnorm 27953  df-sh 28192

This theorem is referenced by:  norm1hex  28236  pjnmopi  29135