HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm-iii-i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem norm-iii-i 28305
Description: Theorem 3.3(iii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
norm-iii.1 𝐴 ∈ ℂ
norm-iii.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
norm-iii-i (norm‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (norm𝐵))

Proof of Theorem norm-iii-i
StepHypRef Expression
1 norm-iii.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
2 norm-iii.2 . . . . 5 𝐵 ∈ ℋ
31, 1, 2, 2his35i 28255 . . . 4 ((𝐴 · 𝐵) ·ih (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
43fveq2i 6355 . . 3 (√‘((𝐴 · 𝐵) ·ih (𝐴 · 𝐵))) = (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵)))
51cjmulrcli 14116 . . . 4 (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ
6 hiidrcl 28261 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ)
72, 6ax-mp 5 . . . 4 (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ
81cjmulge0i 14118 . . . 4 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))
9 hiidge0 28264 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵))
102, 9ax-mp 5 . . . 4 0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵)
115, 7, 8, 10sqrtmulii 14325 . . 3 (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
124, 11eqtri 2782 . 2 (√‘((𝐴 · 𝐵) ·ih (𝐴 · 𝐵))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
131, 2hvmulcli 28180 . . 3 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ
14 normval 28290 . . 3 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ → (norm‘(𝐴 · 𝐵)) = (√‘((𝐴 · 𝐵) ·ih (𝐴 · 𝐵))))
1513, 14ax-mp 5 . 2 (norm‘(𝐴 · 𝐵)) = (√‘((𝐴 · 𝐵) ·ih (𝐴 · 𝐵)))
16 absval 14177 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
171, 16ax-mp 5 . . 3 (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴)))
18 normval 28290 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (norm𝐵) = (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
192, 18ax-mp 5 . . 3 (norm𝐵) = (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))
2017, 19oveq12i 6825 . 2 ((abs‘𝐴) · (norm𝐵)) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
2112, 15, 203eqtr4i 2792 1 (norm‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (norm𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128   · cmul 10133  cle 10267  ccj 14035  csqrt 14172  abscabs 14173  chil 28085   · csm 28087   ·ih csp 28088  normcno 28089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-hv0cl 28169  ax-hfvmul 28171  ax-hvmul0 28176  ax-hfi 28245  ax-his1 28248  ax-his3 28250  ax-his4 28251
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-hnorm 28134
This theorem is referenced by:  norm-iii  28306  normsubi  28307  normpar2i  28322
  Copyright terms: Public domain W3C validator