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Theorem norm-ii-i 28303
Description: Triangle inequality for norms. Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
norm-ii.1 𝐴 ∈ ℋ
norm-ii.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
norm-ii-i (norm‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((norm𝐴) + (norm𝐵))

Proof of Theorem norm-ii-i
StepHypRef Expression
1 1re 10231 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
2 ax-1cn 10186 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
32cjrebi 14113 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ ↔ (∗‘1) = 1)
41, 3mpbi 220 . . . . . . . . . 10 (∗‘1) = 1
54oveq1i 6823 . . . . . . . . 9 ((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = (1 · (𝐵 ·ih 𝐴))
6 norm-ii.2 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ ℋ
7 norm-ii.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∈ ℋ
86, 7hicli 28247 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ
98mulid2i 10235 . . . . . . . . 9 (1 · (𝐵 ·ih 𝐴)) = (𝐵 ·ih 𝐴)
105, 9eqtri 2782 . . . . . . . 8 ((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = (𝐵 ·ih 𝐴)
117, 6hicli 28247 . . . . . . . . 9 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
1211mulid2i 10235 . . . . . . . 8 (1 · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)
1310, 12oveq12i 6825 . . . . . . 7 (((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) + (1 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = ((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐴 ·ih 𝐵))
14 abs1 14236 . . . . . . . 8 (abs‘1) = 1
152, 6, 7, 14normlem7 28282 . . . . . . 7 (((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) + (1 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ≤ (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))))
1613, 15eqbrtrri 4827 . . . . . 6 ((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐴 ·ih 𝐵)) ≤ (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))))
17 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 -(((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) + (1 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = -(((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) + (1 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
182, 6, 7, 17normlem2 28277 . . . . . . . . 9 -(((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) + (1 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ∈ ℝ
192cjcli 14108 . . . . . . . . . . . 12 (∗‘1) ∈ ℂ
2019, 8mulcli 10237 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) ∈ ℂ
212, 11mulcli 10237 . . . . . . . . . . 11 (1 · (𝐴 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
2220, 21addcli 10236 . . . . . . . . . 10 (((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) + (1 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ∈ ℂ
2322negrebi 10547 . . . . . . . . 9 (-(((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) + (1 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ∈ ℝ ↔ (((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) + (1 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ∈ ℝ)
2418, 23mpbi 220 . . . . . . . 8 (((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) + (1 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ∈ ℝ
2513, 24eqeltrri 2836 . . . . . . 7 ((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐴 ·ih 𝐵)) ∈ ℝ
26 2re 11282 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
27 hiidge0 28264 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))
287, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴)
29 hiidrcl 28261 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
307, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ
3130sqrtcli 14310 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℝ)
3228, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℝ
33 hiidge0 28264 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵))
346, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵)
35 hiidrcl 28261 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ)
366, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ
3736sqrtcli 14310 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵) → (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℝ)
3834, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℝ
3932, 38remulcli 10246 . . . . . . . 8 ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))) ∈ ℝ
4026, 39remulcli 10246 . . . . . . 7 (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))) ∈ ℝ
4130, 36readdcli 10245 . . . . . . 7 ((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℝ
4225, 40, 41leadd2i 10776 . . . . . 6 (((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐴 ·ih 𝐵)) ≤ (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))) ↔ (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐴 ·ih 𝐵))) ≤ (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))))))
4316, 42mpbi 220 . . . . 5 (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐴 ·ih 𝐵))) ≤ (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))))
447, 6, 7, 6normlem8 28283 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴)))
4511, 8addcomi 10419 . . . . . . 7 ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐴 ·ih 𝐵))
4645oveq2i 6824 . . . . . 6 (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴))) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐴 ·ih 𝐵)))
4744, 46eqtri 2782 . . . . 5 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐴 ·ih 𝐵)))
4832recni 10244 . . . . . . 7 (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℂ
4938recni 10244 . . . . . . 7 (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
5048, 49binom2i 13168 . . . . . 6 (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2) = ((((√‘(𝐴 ·ih 𝐴))↑2) + (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))))) + ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵))↑2))
5148sqcli 13138 . . . . . . 7 ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴))↑2) ∈ ℂ
52 2cn 11283 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
5348, 49mulcli 10237 . . . . . . . 8 ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))) ∈ ℂ
5452, 53mulcli 10237 . . . . . . 7 (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))) ∈ ℂ
5549sqcli 13138 . . . . . . 7 ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵))↑2) ∈ ℂ
5651, 54, 55add32i 10451 . . . . . 6 ((((√‘(𝐴 ·ih 𝐴))↑2) + (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))))) + ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵))↑2)) = ((((√‘(𝐴 ·ih 𝐴))↑2) + ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵))↑2)) + (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))))
5730sqsqrti 14314 . . . . . . . . 9 (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴))↑2) = (𝐴 ·ih 𝐴))
5828, 57ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴))↑2) = (𝐴 ·ih 𝐴)
5936sqsqrti 14314 . . . . . . . . 9 (0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵) → ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵))↑2) = (𝐵 ·ih 𝐵))
6034, 59ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵))↑2) = (𝐵 ·ih 𝐵)
6158, 60oveq12i 6825 . . . . . . 7 (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴))↑2) + ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵))↑2)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵))
6261oveq1i 6823 . . . . . 6 ((((√‘(𝐴 ·ih 𝐴))↑2) + ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵))↑2)) + (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))))) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))))
6350, 56, 623eqtri 2786 . . . . 5 (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))))
6443, 47, 633brtr4i 4834 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) ≤ (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2)
657, 6hvaddcli 28184 . . . . . 6 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ
66 hiidge0 28264 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ → 0 ≤ ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)))
6765, 66ax-mp 5 . . . . 5 0 ≤ ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵))
6832, 38readdcli 10245 . . . . . 6 ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))) ∈ ℝ
6968sqge0i 13145 . . . . 5 0 ≤ (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2)
70 hiidrcl 28261 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ → ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
7165, 70ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ
7268resqcli 13143 . . . . . 6 (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2) ∈ ℝ
7371, 72sqrtlei 14327 . . . . 5 ((0 ≤ ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) ∧ 0 ≤ (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2)) → (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) ≤ (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2) ↔ (√‘((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵))) ≤ (√‘(((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2))))
7467, 69, 73mp2an 710 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) ≤ (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2) ↔ (√‘((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵))) ≤ (√‘(((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2)))
7564, 74mpbi 220 . . 3 (√‘((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵))) ≤ (√‘(((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2))
7630sqrtge0i 14315 . . . . . 6 (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) → 0 ≤ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
7728, 76ax-mp 5 . . . . 5 0 ≤ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))
7836sqrtge0i 14315 . . . . . 6 (0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵) → 0 ≤ (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
7934, 78ax-mp 5 . . . . 5 0 ≤ (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))
8032, 38addge0i 10760 . . . . 5 ((0 ≤ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) ∧ 0 ≤ (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))) → 0 ≤ ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))))
8177, 79, 80mp2an 710 . . . 4 0 ≤ ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
8268sqrtsqi 14313 . . . 4 (0 ≤ ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))) → (√‘(((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2)) = ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))))
8381, 82ax-mp 5 . . 3 (√‘(((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2)) = ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
8475, 83breqtri 4829 . 2 (√‘((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵))) ≤ ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
85 normval 28290 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ → (norm‘(𝐴 + 𝐵)) = (√‘((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵))))
8665, 85ax-mp 5 . 2 (norm‘(𝐴 + 𝐵)) = (√‘((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)))
87 normval 28290 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (norm𝐴) = (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
887, 87ax-mp 5 . . 3 (norm𝐴) = (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))
89 normval 28290 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (norm𝐵) = (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
906, 89ax-mp 5 . . 3 (norm𝐵) = (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))
9188, 90oveq12i 6825 . 2 ((norm𝐴) + (norm𝐵)) = ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
9284, 86, 913brtr4i 4834 1 (norm‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((norm𝐴) + (norm𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  cle 10267  -cneg 10459  2c2 11262  cexp 13054  ccj 14035  csqrt 14172  chil 28085   + cva 28086   ·ih csp 28088  normcno 28089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-hfvadd 28166  ax-hv0cl 28169  ax-hfvmul 28171  ax-hvmulass 28173  ax-hvmul0 28176  ax-hfi 28245  ax-his1 28248  ax-his2 28249  ax-his3 28250  ax-his4 28251
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-hnorm 28134  df-hvsub 28137
This theorem is referenced by:  norm-ii  28304  norm3difi  28313
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