Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nodenselem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nodenselem7 32138
Description: Lemma for nodense 32140. 𝐴 and 𝐵 are equal at all elements of the abstraction. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
nodenselem7 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (( bday 𝐴) = ( bday 𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → (𝐶 {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴𝑎) ≠ (𝐵𝑎)} → (𝐴𝐶) = (𝐵𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎

Proof of Theorem nodenselem7
StepHypRef Expression
1 simpll 807 . . . 4 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (( bday 𝐴) = ( bday 𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → 𝐴 No )
2 simplr 809 . . . 4 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (( bday 𝐴) = ( bday 𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → 𝐵 No )
3 sltso 32125 . . . . . . . . 9 <s Or No
4 sonr 5200 . . . . . . . . 9 (( <s Or No 𝐴 No ) → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
53, 4mpan 708 . . . . . . . 8 (𝐴 No → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
6 breq2 4800 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 <s 𝐴𝐴 <s 𝐵))
76notbid 307 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 <s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
85, 7syl5ibcom 235 . . . . . . 7 (𝐴 No → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 <s 𝐵))
98necon2ad 2939 . . . . . 6 (𝐴 No → (𝐴 <s 𝐵𝐴𝐵))
109imp 444 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴𝐵)
1110ad2ant2rl 802 . . . 4 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (( bday 𝐴) = ( bday 𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → 𝐴𝐵)
121, 2, 113jca 1122 . . 3 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (( bday 𝐴) = ( bday 𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → (𝐴 No 𝐵 No 𝐴𝐵))
13 nosepeq 32133 . . 3 (((𝐴 No 𝐵 No 𝐴𝐵) ∧ 𝐶 {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴𝑎) ≠ (𝐵𝑎)}) → (𝐴𝐶) = (𝐵𝐶))
1412, 13sylan 489 . 2 ((((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (( bday 𝐴) = ( bday 𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) ∧ 𝐶 {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴𝑎) ≠ (𝐵𝑎)}) → (𝐴𝐶) = (𝐵𝐶))
1514ex 449 1 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ (( bday 𝐴) = ( bday 𝐵) ∧ 𝐴 <s 𝐵)) → (𝐶 {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴𝑎) ≠ (𝐵𝑎)} → (𝐴𝐶) = (𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  {crab 3046   cint 4619   class class class wbr 4796   Or wor 5178  Oncon0 5876  cfv 6041   No csur 32091   <s cslt 32092   bday cbday 32093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-ord 5879  df-on 5880  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-1o 7721  df-2o 7722  df-no 32094  df-slt 32095
This theorem is referenced by:  nodense  32140
  Copyright terms: Public domain W3C validator