Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nodenselem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nodenselem4 31821
Description: Lemma for nodense 31826. Show that a particular abstraction is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
nodenselem4 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴𝑎) ≠ (𝐵𝑎)} ∈ On)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎

Proof of Theorem nodenselem4
StepHypRef Expression
1 simpll 790 . 2 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 No )
2 simplr 792 . 2 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 No )
3 sltso 31811 . . . . . . 7 <s Or No
4 sonr 5054 . . . . . . 7 (( <s Or No 𝐴 No ) → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
53, 4mpan 706 . . . . . 6 (𝐴 No → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
65adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
7 breq2 4655 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 <s 𝐴𝐴 <s 𝐵))
87notbid 308 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 <s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
96, 8syl5ibcom 235 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 <s 𝐵))
109necon2ad 2808 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 <s 𝐵𝐴𝐵))
1110imp 445 . 2 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴𝐵)
12 nosepon 31802 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐴𝐵) → {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴𝑎) ≠ (𝐵𝑎)} ∈ On)
131, 2, 11, 12syl3anc 1325 1 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴𝑎) ≠ (𝐵𝑎)} ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793  {crab 2915   cint 4473   class class class wbr 4651   Or wor 5032  Oncon0 5721  cfv 5886   No csur 31777   <s cslt 31778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-ord 5724  df-on 5725  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-1o 7557  df-2o 7558  df-no 31780  df-slt 31781
This theorem is referenced by:  nodenselem6  31823  nodense  31826
  Copyright terms: Public domain W3C validator