Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nodenselem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nodenselem4 32174
Description: Lemma for nodense 32179. Show that a particular abstraction is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
nodenselem4 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴𝑎) ≠ (𝐵𝑎)} ∈ On)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎

Proof of Theorem nodenselem4
StepHypRef Expression
1 simpll 750 . 2 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 No )
2 simplr 752 . 2 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 No )
3 sltso 32164 . . . . . . 7 <s Or No
4 sonr 5191 . . . . . . 7 (( <s Or No 𝐴 No ) → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
53, 4mpan 670 . . . . . 6 (𝐴 No → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
65adantr 466 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐵 No ) → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
7 breq2 4790 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 <s 𝐴𝐴 <s 𝐵))
87notbid 307 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 <s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
96, 8syl5ibcom 235 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 <s 𝐵))
109necon2ad 2958 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 <s 𝐵𝐴𝐵))
1110imp 393 . 2 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴𝐵)
12 nosepon 32155 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐴𝐵) → {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴𝑎) ≠ (𝐵𝑎)} ∈ On)
131, 2, 11, 12syl3anc 1476 1 (((𝐴 No 𝐵 No ) ∧ 𝐴 <s 𝐵) → {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴𝑎) ≠ (𝐵𝑎)} ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  {crab 3065   cint 4611   class class class wbr 4786   Or wor 5169  Oncon0 5866  cfv 6031   No csur 32130   <s cslt 32131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-1o 7713  df-2o 7714  df-no 32133  df-slt 32134
This theorem is referenced by:  nodenselem6  32176  nodense  32179
  Copyright terms: Public domain W3C validator