MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnzi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnzi 11439
Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
nnzi.1 𝑁 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
nnzi 𝑁 ∈ ℤ

Proof of Theorem nnzi
StepHypRef Expression
1 nnssz 11435 . 2 ℕ ⊆ ℤ
2 nnzi.1 . 2 𝑁 ∈ ℕ
31, 2sselii 3633 1 𝑁 ∈ ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2030  cn 11058  cz 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-z 11416
This theorem is referenced by:  1z  11445  2z  11447  3z  11448  4z  11449  faclbnd4lem1  13120  ef01bndlem  14958  sin01bnd  14959  3dvds  15099  3dvdsOLD  15100  3dvdsdec  15101  3dvdsdecOLD  15102  divalglem6  15168  divalglem7  15169  divalglem8  15170  divalglem9  15171  ndvdsi  15183  6gcd4e2  15302  3lcm2e6  15487  prm23ge5  15567  pockthi  15658  modxai  15819  mod2xnegi  15822  gcdmodi  15825  strlemor1OLD  16016  strleun  16019  strle1  16020  lt6abl  18342  ppiublem1  24972  ppiublem2  24973  ppiub  24974  bpos1lem  25052  bposlem6  25059  bposlem8  25061  bposlem9  25062  lgsdir2lem5  25099  2lgsoddprmlem2  25179  ex-mod  27436  ex-dvds  27443  ex-gcd  27444  ex-lcm  27445  ballotlem1  30676  ballotlem2  30678  ballotlemfmpn  30684  ballotlemsdom  30701  ballotlemsel1i  30702  ballotlemsima  30705  ballotlemfrceq  30718  ballotlemfrcn0  30719  chtvalz  30835  hgt750lem  30857  inductionexd  38770  hoidmvlelem3  41132  fmtnoprmfac2lem1  41803  31prm  41837  mod42tp1mod8  41844  6even  41945  8even  41947  gbowge7  41976  gbege6  41978  stgoldbwt  41989  sbgoldbwt  41990  sbgoldbm  41997  mogoldbb  41998  sbgoldbo  42000  nnsum3primesle9  42007  nnsum4primeseven  42013  nnsum4primesevenALTV  42014  wtgoldbnnsum4prm  42015  bgoldbnnsum3prm  42017  bgoldbtbndlem1  42018  tgblthelfgott  42028  tgoldbach  42030  tgblthelfgottOLD  42034  tgoldbachOLD  42037  zlmodzxzequa  42610  zlmodzxznm  42611  zlmodzxzequap  42613  zlmodzxzldeplem3  42616  zlmodzxzldep  42618  ldepsnlinclem2  42620  ldepsnlinc  42622
  Copyright terms: Public domain W3C validator