MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnz 11437
Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nnz (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnz
StepHypRef Expression
1 nnssz 11435 . 2 ℕ ⊆ ℤ
21sseli 3632 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  cn 11058  cz 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-z 11416
This theorem is referenced by:  elnnz1  11441  znegcl  11450  nnleltp1  11470  nnltp1le  11471  nnlem1lt  11481  nnltlem1  11482  nnm1ge0  11483  prime  11496  nneo  11499  zeo  11501  btwnz  11517  eluz2b2  11799  qaddcl  11842  qreccl  11846  elfz1end  12409  fznatpl1  12433  fznn  12446  elfz1b  12447  elfzo0  12548  elfzo0z  12549  elfzo1  12557  fzo1fzo0n0  12558  ubmelm1fzo  12604  quoremz  12694  intfracq  12698  fznnfl  12701  zmodcl  12730  zmodfz  12732  zmodfzo  12733  zmodid2  12738  zmodidfzo  12739  modfzo0difsn  12782  expnnval  12903  mulexpz  12940  nnesq  13028  expnlbnd  13034  expnlbnd2  13035  digit2  13037  faclbnd  13117  bc0k  13138  bcval5  13145  fz1isolem  13283  seqcoll  13286  ccatval21sw  13403  lswccatn0lsw  13409  cshwidxmod  13595  cshwidxn  13601  absexpz  14089  climuni  14327  isercoll  14442  climcnds  14627  arisum  14636  trireciplem  14638  expcnv  14640  geo2sum  14648  geo2lim  14650  0.999...  14656  0.999...OLD  14657  geoihalfsum  14658  rpnnen2lem6  14992  rpnnen2lem9  14995  rpnnen2lem10  14996  dvdsval3  15031  nndivdvds  15036  modmulconst  15060  dvdsle  15079  dvdsssfz1  15087  fzm1ndvds  15091  dvdsfac  15095  mulmoddvds  15098  oexpneg  15116  nnoddm1d2  15149  pwp1fsum  15161  divalg2  15175  divalgmod  15176  divalgmodOLD  15177  modremain  15179  ndvdsadd  15181  nndvdslegcd  15274  divgcdz  15280  divgcdnn  15283  divgcdnnr  15284  modgcd  15300  gcddiv  15315  gcdmultiple  15316  gcdmultiplez  15317  gcdzeq  15318  gcdeq  15319  rpmulgcd  15322  rplpwr  15323  rppwr  15324  sqgcd  15325  dvdssqlem  15326  dvdssq  15327  eucalginv  15344  lcmgcdlem  15366  lcmgcdnn  15371  lcmass  15374  lcmftp  15396  lcmfunsnlem2lem1  15398  coprmgcdb  15409  qredeq  15418  qredeu  15419  coprmprod  15422  coprmproddvdslem  15423  coprmproddvds  15424  cncongr1  15428  cncongr2  15429  1idssfct  15440  isprm2lem  15441  isprm3  15443  prmind2  15445  divgcdodd  15469  isprm6  15473  ncoprmlnprm  15483  divnumden  15503  divdenle  15504  nn0gcdsq  15507  phicl2  15520  phiprmpw  15528  eulerthlem2  15534  hashgcdlem  15540  hashgcdeq  15541  phisum  15542  nnoddn2prm  15563  pythagtriplem3  15570  pythagtriplem4  15571  pythagtriplem6  15573  pythagtriplem7  15574  pythagtriplem8  15575  pythagtriplem9  15576  pythagtriplem11  15577  pythagtriplem13  15579  pythagtriplem15  15581  pythagtriplem19  15585  pythagtrip  15586  iserodd  15587  pclem  15590  pccl  15601  pcdiv  15604  pcqcl  15608  pcdvds  15615  pcndvds  15617  pcndvds2  15619  pcelnn  15621  pcz  15632  pcmpt  15643  fldivp1  15648  pcfac  15650  infpnlem1  15661  prmunb  15665  prmreclem1  15667  1arith  15678  ram0  15773  prmdvdsprmo  15793  prmgaplem4  15805  prmgaplem6  15807  prmgaplem7  15808  cshwshashlem2  15850  setsstruct2  15943  setsstructOLD  15946  mulgnn  17594  mulgaddcom  17611  mulginvcom  17612  mulgmodid  17628  ghmmulg  17719  dfod2  18027  gexdvds  18045  gexnnod  18049  gexex  18302  mulgass2  18647  qsssubdrg  19853  prmirredlem  19889  znidomb  19958  znrrg  19962  chfacfisf  20707  chfacfisfcpmat  20708  chfacfscmul0  20711  chfacfpmmul0  20715  cayhamlem1  20719  cpmadugsumlemF  20729  lmmo  21232  1stckgenlem  21404  imasdsf1olem  22225  clmmulg  22947  cmetcaulem  23132  ovolunlem1a  23310  ovolicc2lem4  23334  mbfi1fseqlem6  23532  dvexp3  23786  dgreq0  24066  elqaalem2  24120  aaliou3lem1  24142  aaliou3lem2  24143  aaliou3lem3  24144  aaliou3lem9  24150  pserdvlem2  24227  logtayl2  24453  root1eq1  24541  root1cj  24542  atantayl2  24710  birthdaylem2  24724  birthdaylem3  24725  emcllem5  24771  basellem2  24853  basellem3  24854  basellem5  24856  issqf  24907  sgmnncl  24918  prmorcht  24949  mumullem1  24950  mumullem2  24951  sqff1o  24953  dvdsflsumcom  24959  muinv  24964  vmalelog  24975  chtublem  24981  vmasum  24986  logfac2  24987  logfaclbnd  24992  bclbnd  25050  bposlem5  25058  lgsval4a  25089  lgssq2  25108  lgsdchr  25125  gausslemma2dlem0c  25128  gausslemma2dlem0e  25130  gausslemma2dlem1a  25135  gausslemma2dlem5  25141  lgsquadlem1  25150  lgsquadlem2  25151  lgsquad3  25157  2lgslem1a1  25159  2lgslem3  25174  2lgsoddprm  25186  rplogsumlem1  25218  rplogsumlem2  25219  dchrisumlem2  25224  dchrmusumlema  25227  dchrmusum2  25228  dchrvmasumiflem1  25235  dchrvmaeq0  25238  dchrisum0flblem2  25243  dchrisum0re  25247  dchrisum0lema  25248  dchrisum0lem1b  25249  dchrisum0lem2a  25251  logdivbnd  25290  pntrsumbnd2  25301  ostth2lem1  25352  ostth2lem3  25369  ostth3  25372  axlowdimlem13  25879  crctcshwlkn0lem4  26761  crctcshwlkn0lem5  26762  crctcshwlkn0lem7  26764  wlkiswwlksupgr2  26831  clwwisshclwwslem  26971  clwwlkinwwlk  27003  clwwlkel  27009  clwwlkf  27010  wwlksubclwwlk  27023  clwwlkvbij  27088  clwwlkvbijOLD  27089  eucrctshift  27221  eucrct2eupth  27223  numclwlk2lem2f  27357  numclwlk2lem2fOLD  27364  bcm1n  29682  pnfinf  29865  isarchiofld  29945  rearchi  29970  submat1n  29999  lmatfvlem  30009  esumcvg  30276  oddpwdc  30544  fibp1  30591  chtvalz  30835  erdszelem7  31305  climuzcnv  31691  elfzm12  31695  bcprod  31750  nn0prpwlem  32442  knoppndvlem1  32628  knoppndvlem2  32629  knoppndvlem7  32634  knoppndvlem18  32645  poimirlem13  33552  poimirlem14  33553  mblfinlem2  33577  fzmul  33667  incsequz  33674  geomcau  33685  heibor1lem  33738  bfplem2  33752  fzsplit1nn0  37634  irrapxlem1  37703  pellexlem5  37714  rmynn  37840  jm2.24nn  37843  jm2.17c  37846  congrep  37857  congabseq  37858  acongrep  37864  acongeq  37867  jm2.18  37872  jm2.23  37880  jm2.20nn  37881  jm2.26lem3  37885  jm2.26  37886  jm2.15nn0  37887  jm2.16nn0  37888  jm2.27dlem2  37894  rmydioph  37898  jm3.1  37904  expdiophlem1  37905  expdioph  37907  idomodle  38091  proot1ex  38096  nznngen  38832  sumnnodd  40180  stoweidlem7  40542  stoweidlem17  40552  wallispilem4  40603  stirlinglem2  40610  stirlinglem3  40611  stirlinglem4  40612  stirlinglem12  40620  stirlinglem13  40621  stirlinglem14  40622  stirlinglem15  40623  stirlingr  40625  dirkertrigeqlem1  40633  fouriersw  40766  ovnsubaddlem1  41105  subsubelfzo0  41661  2ffzoeq  41663  iccpartres  41679  iccpartipre  41682  iccpartltu  41686  iccelpart  41694  odz2prm2pw  41800  fmtnoprmfac2lem1  41803  pwdif  41826  2pwp1prm  41828  lighneallem2  41848  lighneallem4  41852  lighneal  41853  proththd  41856  nneoALTV  41908  divgcdoddALTV  41918  gbowge7  41976  gbege6  41978  altgsumbc  42455  altgsumbcALT  42456  pw2m1lepw2m1  42635  nnpw2even  42648  nnlog2ge0lt1  42685  logbpw2m1  42686  blenpw2m1  42698  nnpw2blenfzo  42700  nnpw2pmod  42702  nnpw2p  42705  blengt1fldiv2p1  42712  dignn0fr  42720  dignn0flhalflem1  42734  dignn0flhalflem2  42735  nn0sumshdiglemA  42738  nn0sumshdiglemB  42739
  Copyright terms: Public domain W3C validator