Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnwof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnwof 11957
 Description: Well-ordering principle: any nonempty set of positive integers has a least element. This version allows 𝑥 and 𝑦 to be present in 𝐴 as long as they are effectively not free. (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnwof.1 𝑥𝐴
nnwof.2 𝑦𝐴
Assertion
Ref Expression
nnwof ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nnwof
Dummy variables 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnwo 11956 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑤𝐴𝑣𝐴 𝑤𝑣)
2 nfcv 2913 . . 3 𝑤𝐴
3 nnwof.1 . . 3 𝑥𝐴
4 nfv 1995 . . . 4 𝑥 𝑤𝑣
53, 4nfral 3094 . . 3 𝑥𝑣𝐴 𝑤𝑣
6 nfv 1995 . . 3 𝑤𝑦𝐴 𝑥𝑦
7 breq1 4789 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑣𝑥𝑣))
87ralbidv 3135 . . . 4 (𝑤 = 𝑥 → (∀𝑣𝐴 𝑤𝑣 ↔ ∀𝑣𝐴 𝑥𝑣))
9 nfcv 2913 . . . . 5 𝑣𝐴
10 nnwof.2 . . . . 5 𝑦𝐴
11 nfv 1995 . . . . 5 𝑦 𝑥𝑣
12 nfv 1995 . . . . 5 𝑣 𝑥𝑦
13 breq2 4790 . . . . 5 (𝑣 = 𝑦 → (𝑥𝑣𝑥𝑦))
149, 10, 11, 12, 13cbvralf 3314 . . . 4 (∀𝑣𝐴 𝑥𝑣 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
158, 14syl6bb 276 . . 3 (𝑤 = 𝑥 → (∀𝑣𝐴 𝑤𝑣 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
162, 3, 5, 6, 15cbvrexf 3315 . 2 (∃𝑤𝐴𝑣𝐴 𝑤𝑣 ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
171, 16sylib 208 1 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382  Ⅎwnfc 2900   ≠ wne 2943  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3723  ∅c0 4063   class class class wbr 4786   ≤ cle 10277  ℕcn 11222 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889 This theorem is referenced by:  nnwos  11958
 Copyright terms: Public domain W3C validator