Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsum3primesgbe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsum3primesgbe 42190
Description: Any even Goldbach number is the sum of at most 3 (actually 2) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum3primesgbe (𝑁 ∈ GoldbachEven → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
Distinct variable group:   𝑁,𝑑,𝑓,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primesgbe
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isgbe 42149 . 2 (𝑁 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑁 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))))
2 2nn 11377 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → 2 ∈ ℕ)
4 oveq2 6821 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = (1...2))
5 df-2 11271 . . . . . . . . . . . . 13 2 = (1 + 1)
65oveq2i 6824 . . . . . . . . . . . 12 (1...2) = (1...(1 + 1))
7 1z 11599 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
8 fzpr 12589 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
10 1p1e2 11326 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
1110preq2i 4416 . . . . . . . . . . . 12 {1, (1 + 1)} = {1, 2}
126, 9, 113eqtri 2786 . . . . . . . . . . 11 (1...2) = {1, 2}
134, 12syl6eq 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = {1, 2})
1413oveq2d 6829 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 2 → (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑)) = (ℙ ↑𝑚 {1, 2}))
15 breq1 4807 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 2 → (𝑑 ≤ 3 ↔ 2 ≤ 3))
1613sumeq1d 14630 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 2 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘))
1716eqeq2d 2770 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 2 → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘)))
1815, 17anbi12d 749 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 2 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘))))
1914, 18rexeqbidv 3292 . . . . . . . 8 (𝑑 = 2 → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘))))
2019adantl 473 . . . . . . 7 ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) ∧ 𝑑 = 2) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘))))
21 1ne2 11432 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 2
22 1ex 10227 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
23 2ex 11284 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ V
24 vex 3343 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑝 ∈ V
25 vex 3343 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑞 ∈ V
2622, 23, 24, 25fpr 6584 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ≠ 2 → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}:{1, 2}⟶{𝑝, 𝑞})
2721, 26mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}:{1, 2}⟶{𝑝, 𝑞})
28 prssi 4498 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → {𝑝, 𝑞} ⊆ ℙ)
2927, 28fssd 6218 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
30 prmex 15593 . . . . . . . . . . . . 13 ℙ ∈ V
31 prex 5058 . . . . . . . . . . . . 13 {1, 2} ∈ V
3230, 31pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (ℙ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V)
33 elmapg 8036 . . . . . . . . . . . 12 ((ℙ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}:{1, 2}⟶ℙ))
3432, 33mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}:{1, 2}⟶ℙ))
3529, 34mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2}))
36 fveq1 6351 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} → (𝑓𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘))
3736adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝑓𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘))
3837sumeq2dv 14632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} → Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘))
3938eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} → (Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = (𝑝 + 𝑞) ↔ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞)))
4039anbi2d 742 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} → ((2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
4140adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}) → ((2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
42 prmz 15591 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
43 prmz 15591 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
44 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘1))
4522, 24fvpr1 6620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘1) = 𝑝)
4621, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘1) = 𝑝
4744, 46syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = 𝑝)
48 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘2))
4923, 25fvpr2 6621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘2) = 𝑞)
5021, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘2) = 𝑞
5148, 50syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = 𝑞)
52 zcn 11574 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℂ)
53 zcn 11574 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ℤ → 𝑞 ∈ ℂ)
5452, 53anim12i 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ))
557, 2pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ)
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ))
5721a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → 1 ≠ 2)
5847, 51, 54, 56, 57sumpr 14676 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))
5942, 43, 58syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))
60 2re 11282 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
61 3re 11286 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
62 2lt3 11387 . . . . . . . . . . . 12 2 < 3
6360, 61, 62ltleii 10352 . . . . . . . . . . 11 2 ≤ 3
6459, 63jctil 561 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞)))
6535, 41, 64rspcedvd 3456 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = (𝑝 + 𝑞)))
6665adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = (𝑝 + 𝑞)))
67 eqeq1 2764 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = (𝑝 + 𝑞) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) ↔ (𝑝 + 𝑞) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘)))
68 eqcom 2767 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 + 𝑞) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) ↔ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = (𝑝 + 𝑞))
6967, 68syl6bb 276 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = (𝑝 + 𝑞) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) ↔ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = (𝑝 + 𝑞)))
7069anbi2d 742 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = (𝑝 + 𝑞) → ((2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
7170rexbidv 3190 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = (𝑝 + 𝑞) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
72713ad2ant3 1130 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
7372adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
7466, 73mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘)))
753, 20, 74rspcedvd 3456 . . . . . 6 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
7675a1d 25 . . . . 5 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → (𝑁 ∈ Even → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘))))
7776ex 449 . . . 4 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑁 ∈ Even → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))))
7877rexlimivv 3174 . . 3 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑁 ∈ Even → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘))))
7978impcom 445 . 2 ((𝑁 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
801, 79sylbi 207 1 (𝑁 ∈ GoldbachEven → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  Vcvv 3340  {cpr 4323  cop 4327   class class class wbr 4804  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑚 cmap 8023  cc 10126  1c1 10129   + caddc 10131  cle 10267  cn 11212  2c2 11262  3c3 11263  cz 11569  ...cfz 12519  Σcsu 14615  cprime 15587   Even ceven 42047   Odd codd 42048   GoldbachEven cgbe 42143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-prm 15588  df-gbe 42146
This theorem is referenced by:  nnsum4primesgbe  42191  nnsum3primesle9  42192  bgoldbnnsum3prm  42202
  Copyright terms: Public domain W3C validator