Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsum3primes4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsum3primes4 40995
Description: 4 is the sum of at most 3 (actually 2) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum3primes4 𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘))
Distinct variable group:   𝑓,𝑑,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primes4
StepHypRef Expression
1 2nn 11145 . 2 2 ∈ ℕ
2 1ne2 11200 . . . . 5 1 ≠ 2
3 1ex 9995 . . . . . 6 1 ∈ V
4 2ex 11052 . . . . . 6 2 ∈ V
53, 4, 4, 4fpr 6386 . . . . 5 (1 ≠ 2 → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2})
6 2prm 15348 . . . . . . . 8 2 ∈ ℙ
76, 6pm3.2i 471 . . . . . . 7 (2 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ)
84, 4prss 4326 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) ↔ {2, 2} ⊆ ℙ)
97, 8mpbi 220 . . . . . 6 {2, 2} ⊆ ℙ
10 fss 6023 . . . . . 6 (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2} ∧ {2, 2} ⊆ ℙ) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
119, 10mpan2 706 . . . . 5 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2} → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
122, 5, 11mp2b 10 . . . 4 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ
13 prmex 15334 . . . . 5 ℙ ∈ V
14 prex 4880 . . . . 5 {1, 2} ∈ V
1513, 14elmap 7846 . . . 4 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2}) ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
1612, 15mpbir 221 . . 3 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})
17 2re 11050 . . . . 5 2 ∈ ℝ
18 3re 11054 . . . . 5 3 ∈ ℝ
19 2lt3 11155 . . . . 5 2 < 3
2017, 18, 19ltleii 10120 . . . 4 2 ≤ 3
21 2cn 11051 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
22 fveq2 6158 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1))
233, 4fvpr1 6421 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 2)
242, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 2
2522, 24syl6eq 2671 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = 2)
26 fveq2 6158 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2))
274, 4fvpr2 6422 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2)
282, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2
2926, 28syl6eq 2671 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = 2)
30 id 22 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
3130ancri 574 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ))
323jctl 563 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ → (1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℂ))
332a1i 11 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ → 1 ≠ 2)
3425, 29, 31, 32, 33sumpr 14426 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = (2 + 2))
3521, 34ax-mp 5 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = (2 + 2)
36 2p2e4 11104 . . . . 5 (2 + 2) = 4
3735, 36eqtr2i 2644 . . . 4 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘)
3820, 37pm3.2i 471 . . 3 (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
39 fveq1 6157 . . . . . . 7 (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑓𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
4039sumeq2sdv 14384 . . . . . 6 (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
4140eqeq2d 2631 . . . . 5 (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → (4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) ↔ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘)))
4241anbi2d 739 . . . 4 (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → ((2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))))
4342rspcev 3299 . . 3 (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2}) ∧ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘)))
4416, 38, 43mp2an 707 . 2 𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘))
45 oveq2 6623 . . . . . 6 (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = (1...2))
46 df-2 11039 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
4746oveq2i 6626 . . . . . . 7 (1...2) = (1...(1 + 1))
48 1z 11367 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
49 fzpr 12354 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
51 1p1e2 11094 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
5251preq2i 4249 . . . . . . . 8 {1, (1 + 1)} = {1, 2}
5350, 52eqtri 2643 . . . . . . 7 (1...(1 + 1)) = {1, 2}
5447, 53eqtri 2643 . . . . . 6 (1...2) = {1, 2}
5545, 54syl6eq 2671 . . . . 5 (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = {1, 2})
5655oveq2d 6631 . . . 4 (𝑑 = 2 → (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑)) = (ℙ ↑𝑚 {1, 2}))
57 breq1 4626 . . . . 5 (𝑑 = 2 → (𝑑 ≤ 3 ↔ 2 ≤ 3))
5855sumeq1d 14381 . . . . . 6 (𝑑 = 2 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘))
5958eqeq2d 2631 . . . . 5 (𝑑 = 2 → (4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘) ↔ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘)))
6057, 59anbi12d 746 . . . 4 (𝑑 = 2 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘))))
6156, 60rexeqbidv 3146 . . 3 (𝑑 = 2 → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘))))
6261rspcev 3299 . 2 ((2 ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
631, 44, 62mp2an 707 1 𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2909  Vcvv 3190  wss 3560  {cpr 4157  cop 4161   class class class wbr 4623  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  𝑚 cmap 7817  cc 9894  1c1 9897   + caddc 9899  cle 10035  cn 10980  2c2 11030  3c3 11031  4c4 11032  cz 11337  ...cfz 12284  Σcsu 14366  cprime 15328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-sum 14367  df-dvds 14927  df-prm 15329
This theorem is referenced by:  nnsum4primes4  40996  nnsum3primesle9  41001
  Copyright terms: Public domain W3C validator