Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsuc 7247
 Description: A nonzero natural number is a successor. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
nnsuc ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nnsuc
StepHypRef Expression
1 nnlim 7243 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → ¬ Lim 𝐴)
21adantr 472 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ Lim 𝐴)
3 nnord 7238 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
4 orduninsuc 7208 . . . . . 6 (Ord 𝐴 → (𝐴 = 𝐴 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥))
54adantr 472 . . . . 5 ((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 = 𝐴 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥))
6 df-lim 5889 . . . . . . 7 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴))
76biimpri 218 . . . . . 6 ((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴) → Lim 𝐴)
873expia 1115 . . . . 5 ((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 = 𝐴 → Lim 𝐴))
95, 8sylbird 250 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅) → (¬ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → Lim 𝐴))
103, 9sylan 489 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (¬ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → Lim 𝐴))
112, 10mt3d 140 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)
12 eleq1 2827 . . . . . . . 8 (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝑥 ∈ ω))
1312biimpcd 239 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑥 → suc 𝑥 ∈ ω))
14 peano2b 7246 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ω ↔ suc 𝑥 ∈ ω)
1513, 14syl6ibr 242 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑥𝑥 ∈ ω))
1615ancrd 578 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)))
1716adantld 484 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴 = suc 𝑥) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)))
1817reximdv2 3152 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))
1918adantr 472 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))
2011, 19mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051  ∅c0 4058  ∪ cuni 4588  Ord word 5883  Oncon0 5884  Lim wlim 5885  suc csuc 5886  ωcom 7230 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055  ax-un 7114 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-tr 4905  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-om 7231 This theorem is referenced by:  peano5  7254  nn0suc  7255  inf3lemd  8697  infpssrlem4  9320  fin1a2lem6  9419  bnj158  31104  bnj1098  31161  bnj594  31289
 Copyright terms: Public domain W3C validator