MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsub 11019
Description: Subtraction of positive integers. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnsub ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nnsub
Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4627 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝑧 < 𝑥𝑧 < 1))
2 oveq1 6622 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (𝑥𝑧) = (1 − 𝑧))
32eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((𝑥𝑧) ∈ ℕ ↔ (1 − 𝑧) ∈ ℕ))
41, 3imbi12d 334 . . . . 5 (𝑥 = 1 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)))
54ralbidv 2982 . . . 4 (𝑥 = 1 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)))
6 breq2 4627 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 < 𝑥𝑧 < 𝑦))
7 oveq1 6622 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑧) = (𝑦𝑧))
87eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝑦𝑧) ∈ ℕ))
96, 8imbi12d 334 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ)))
109ralbidv 2982 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ)))
11 breq2 4627 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑧 < 𝑥𝑧 < (𝑦 + 1)))
12 oveq1 6622 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝑧) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
1312eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝑧) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
1411, 13imbi12d 334 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
1514ralbidv 2982 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
16 breq2 4627 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑥𝑧 < 𝐵))
17 oveq1 6622 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝑧) = (𝐵𝑧))
1817eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝐵𝑧) ∈ ℕ))
1916, 18imbi12d 334 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ)))
2019ralbidv 2982 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ)))
21 nnnlt1 11010 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ → ¬ 𝑧 < 1)
2221pm2.21d 118 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ))
2322rgen 2918 . . . 4 𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)
24 breq1 4626 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 < 𝑦𝑥 < 𝑦))
25 oveq2 6623 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦𝑧) = (𝑦𝑥))
2625eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝑦𝑥) ∈ ℕ))
2724, 26imbi12d 334 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ)))
2827cbvralv 3163 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ))
29 nncn 10988 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
31 ax-1cn 9954 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
32 pncan 10247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
3330, 31, 32sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
34 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
3533, 34eqeltrd 2698 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)
36 oveq2 6623 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 1 → ((𝑦 + 1) − 𝑧) = ((𝑦 + 1) − 1))
3736eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 1 → (((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
3835, 37syl5ibrcom 237 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
3938a1dd 50 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
4039a1dd 50 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))))
41 breq1 4626 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 − 1) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑧 − 1) < 𝑦))
42 oveq2 6623 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 − 1) → (𝑦𝑥) = (𝑦 − (𝑧 − 1)))
4342eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 − 1) → ((𝑦𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ))
4441, 43imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑧 − 1) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) ↔ ((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ)))
4544rspcv 3295 . . . . . . . 8 ((𝑧 − 1) ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ)))
46 nnre 10987 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
47 nnre 10987 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
48 1re 9999 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
49 ltsubadd 10458 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦𝑧 < (𝑦 + 1)))
5048, 49mp3an2 1409 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦𝑧 < (𝑦 + 1)))
5146, 47, 50syl2anr 495 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦𝑧 < (𝑦 + 1)))
52 nncn 10988 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
53 subsub3 10273 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
5431, 53mp3an3 1410 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
5529, 52, 54syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
5655eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
5751, 56imbi12d 334 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
5857biimpd 219 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
5945, 58syl9r 78 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))))
60 nn1m1nn 11000 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ (𝑧 − 1) ∈ ℕ))
6160adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 ∨ (𝑧 − 1) ∈ ℕ))
6240, 59, 61mpjaod 396 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
6362ralrimdva 2965 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
6428, 63syl5bi 232 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
655, 10, 15, 20, 23, 64nnind 10998 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ))
66 breq1 4626 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 < 𝐵𝐴 < 𝐵))
67 oveq2 6623 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (𝐵𝑧) = (𝐵𝐴))
6867eleq1d 2683 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → ((𝐵𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℕ))
6966, 68imbi12d 334 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 < 𝐵 → (𝐵𝐴) ∈ ℕ)))
7069rspcva 3297 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵𝐴) ∈ ℕ))
7165, 70sylan2 491 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵𝐴) ∈ ℕ))
72 nngt0 11009 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ ℕ → 0 < (𝐵𝐴))
73 nnre 10987 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
74 nnre 10987 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
75 posdif 10481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
7673, 74, 75syl2an 494 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
7772, 76syl5ibr 236 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵𝐴) ∈ ℕ → 𝐴 < 𝐵))
7871, 77impbid 202 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   < clt 10034  cmin 10226  cn 10980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981
This theorem is referenced by:  nnsubi  11020  nn0sub  11303  uz3m2nn  11691  faclbnd4lem4  13039  pythagtriplem13  15475  vdwlem12  15639  perfectlem1  24888  crctcshwlkn0lem6  26610  crctcshwlkn0lem7  26611  bcprod  31385  nndivsub  32151  perfectALTVlem1  40955
  Copyright terms: Public domain W3C validator