Theorem nnsplit 40090

Description: Express the set of positive integers as the disjoint (see nnuzdisj 40087) union of the first 𝑁 values and the rest. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsplit	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ℕ = ((1...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))

Proof of Theorem nnsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11925	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ℕ = (ℤ≥‘1))
3		peano2nn 11234	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
4	3, 1	syl6eleq 2860	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
5		uzsplit 12619	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) → (ℤ≥‘1) = ((1...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ≥‘1) = ((1...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
7		nncn 11230	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
8		1cnd 10258	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
9	7, 8	pncand 10595	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
10	9	oveq2d 6809	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...((𝑁 + 1) − 1)) = (1...𝑁))
11	10	uneq1d 3917	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = ((1...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
12	2, 6, 11	3eqtrd 2809	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ℕ = ((1...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3721  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  1c1 10139   + caddc 10141   − cmin 10468  ℕcn 11222  ℤ_≥cuz 11888  ...cfz 12533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem2  41330