MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnrp 11880
Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
nnrp (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrp
StepHypRef Expression
1 nnre 11065 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2 nngt0 11087 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3 elrp 11872 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
41, 2, 3sylanbrc 699 1 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030   class class class wbr 4685  cr 9973  0cc0 9974   < clt 10112  cn 11058  +crp 11870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-rp 11871
This theorem is referenced by:  nnrpd  11908  nn0ledivnn  11979  adddivflid  12659  divfl0  12665  fldivnn0le  12673  zmodcl  12730  zmodfz  12732  zmodid2  12738  m1modnnsub1  12756  addmodid  12758  modifeq2int  12772  modaddmodup  12773  modaddmodlo  12774  modsumfzodifsn  12783  addmodlteq  12785  nnesq  13028  digit2  13037  digit1  13038  bcrpcl  13135  bcval5  13145  lswccatn0lsw  13409  cshw0  13586  cshwmodn  13587  cshwsublen  13588  cshwidxmod  13595  cshwidxmodr  13596  cshwidxm1  13599  cshwidxm  13600  repswcshw  13604  2cshw  13605  cshweqrep  13613  modfsummods  14569  divcnv  14629  supcvg  14632  harmonic  14635  expcnv  14640  rpnnen2lem11  14997  sqrt2irr  15023  dvdsval3  15031  dvdsmodexp  15035  moddvds  15038  divalgmod  15176  divalgmodOLD  15177  flodddiv4  15184  modgcd  15300  divgcdcoprm0  15426  isprm5  15466  isprm6  15473  nnnn0modprm0  15558  pythagtriplem13  15579  fldivp1  15648  prmreclem5  15671  prmreclem6  15672  4sqlem12  15707  modxai  15819  modsubi  15823  mulgmodid  17628  odmodnn0  18005  gexdvds  18045  sylow1lem1  18059  gexexlem  18301  znf1o  19948  met1stc  22373  lmnn  23107  bcthlem5  23171  minveclem3  23246  vitalilem4  23425  vitali  23427  ismbf3d  23466  itg2seq  23554  plyeq0lem  24011  elqaalem3  24121  aalioulem6  24137  aaliou  24138  logtayllem  24450  atan1  24700  leibpi  24714  birthdaylem2  24724  dfef2  24742  divsqrtsumlem  24751  emcllem1  24767  emcllem2  24768  emcllem3  24769  emcllem4  24770  emcllem6  24772  zetacvg  24786  lgam1  24835  ppiub  24974  vmalelog  24975  logfacbnd3  24993  logexprlim  24995  bcmono  25047  bclbnd  25050  bposlem1  25054  bposlem7  25060  bposlem8  25061  bposlem9  25062  gausslemma2dlem1a  25135  gausslemma2dlem4  25139  gausslemma2dlem6  25142  m1lgs  25158  2lgslem1a1  25159  2lgslem3a1  25170  2lgslem3b1  25171  2lgslem3c1  25172  2lgslem3d1  25173  2lgslem4  25176  2lgsoddprmlem2  25179  rplogsumlem1  25218  dchrisumlema  25222  dchrisumlem2  25224  dchrisumlem3  25225  dchrvmasumlem2  25232  dchrvmasumiflem1  25235  dchrisum0lem1b  25249  dchrisum0lem2a  25251  rplogsum  25261  logdivsum  25267  mulog2sumlem2  25269  logsqvma  25276  logsqvma2  25277  log2sumbnd  25278  selberg2lem  25284  logdivbnd  25290  pntrsumo1  25299  pntrsumbnd  25300  pntibndlem1  25323  pntibndlem2  25325  pntibndlem3  25326  pntlemd  25328  pntlema  25330  pntlemb  25331  pntlemr  25336  pntlemj  25337  pntlemf  25339  pntlemo  25341  crctcshwlkn0lem5  26762  crctcshwlkn0lem6  26763  lnconi  29020  rpdp2cl  29717  rpdp2cl2  29718  hgt750lem  30857  hgt750lem2  30858  hgt750leme  30864  circum  31694  bccolsum  31751  faclimlem3  31757  faclim  31758  poimirlem29  33568  poimirlem30  33569  poimirlem31  33570  poimirlem32  33571  mblfinlem3  33578  itg2addnclem2  33592  itg2addnclem3  33593  itg2addnc  33594  pellexlem4  37713  pell1qrgaplem  37754  pellqrex  37760  congrep  37857  acongeq  37867  proot1ex  38096  hashnzfzclim  38838  xrralrecnnle  39915  nnrecrp  39918  xrralrecnnge  39926  iooiinicc  40087  iooiinioc  40101  fprodsubrecnncnvlem  40439  fprodaddrecnncnvlem  40441  wallispilem4  40603  wallispi  40605  wallispi2lem1  40606  wallispi2lem2  40607  stirlinglem1  40609  stirlinglem2  40610  stirlinglem3  40611  stirlinglem4  40612  stirlinglem6  40614  stirlinglem7  40615  stirlinglem10  40618  stirlinglem11  40619  stirlinglem13  40621  stirlinglem14  40622  stirlinglem15  40623  stirlingr  40625  dirkertrigeqlem1  40633  hoicvrrex  41091  ovnsubaddlem2  41106  hoiqssbllem3  41159  iinhoiicc  41209  iunhoiioo  41211  vonioolem1  41215  vonioolem2  41216  vonicclem1  41218  vonicclem2  41219  preimageiingt  41251  preimaleiinlt  41252  fsummmodsndifre  41669  mod42tp1mod8  41844  lighneallem2  41848  3exp4mod41  41858  41prothprmlem2  41860  perfectALTVlem2  41956  mod0mul  42639  modn0mul  42640  m1modmmod  42641  difmodm1lt  42642  nnlog2ge0lt1  42685  blennnelnn  42695  nnpw2blen  42699  blen1b  42707  blennnt2  42708  blennn0e2  42713  dignn0fr  42720  dignn0ldlem  42721  dignnld  42722  dig2nn1st  42724  dig0  42725
  Copyright terms: Public domain W3C validator