MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrecred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnrecred 11250
Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnrecred (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnrecre 11241 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2131  (class class class)co 6805  cr 10119  1c1 10121   / cdiv 10868  cn 11204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205
This theorem is referenced by:  trireciplem  14785  trirecip  14786  geo2sum  14795  geo2lim  14797  bpolydiflem  14976  ege2le3  15011  eftlub  15030  eirrlem  15123  prmreclem6  15819  lmnn  23253  bcthlem5  23317  opnmbllem  23561  mbfi1fseqlem4  23676  taylthlem2  24319  logtayl  24597  leibpi  24860  amgmlem  24907  emcllem1  24913  emcllem2  24914  emcllem3  24915  emcllem5  24917  harmoniclbnd  24926  harmonicubnd  24927  harmonicbnd4  24928  fsumharmonic  24929  lgamgulmlem1  24946  lgamgulmlem2  24947  lgamgulmlem3  24948  lgamgulmlem5  24950  lgamucov  24955  ftalem4  24993  ftalem5  24994  basellem6  25003  basellem7  25004  basellem9  25006  chpchtsum  25135  logfaclbnd  25138  rplogsumlem2  25365  rpvmasumlem  25367  dchrmusum2  25374  dchrvmasumlem3  25379  dchrisum0fno1  25391  mulogsumlem  25411  mulogsum  25412  mulog2sumlem1  25414  vmalogdivsum2  25418  logdivbnd  25436  pntrsumo1  25445  pntrlog2bndlem2  25458  pntrlog2bndlem5  25461  pntrlog2bndlem6  25463  pntpbnd2  25467  padicabvf  25511  minvecolem3  28033  minvecolem4  28037  subfacval3  31470  cvmliftlem13  31577  poimirlem29  33743  opnmbllem0  33750  heiborlem7  33921  irrapxlem4  37883  hashnzfz2  39014  hashnzfzclim  39015  stoweidlem30  40742  stoweidlem38  40750  stoweidlem44  40756  vonioolem1  41392  smflimlem3  41479  amgmlemALT  43054
  Copyright terms: Public domain W3C validator