MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrecgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnrecgt0 11281
Description: The reciprocal of a positive integer is positive. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnrecgt0 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < (1 / 𝐴))

Proof of Theorem nnrecgt0
StepHypRef Expression
1 nnge1 11269 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
2 0lt1 10773 . . 3 0 < 1
3 nnre 11250 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
4 0re 10263 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
5 1re 10262 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
6 ltletr 10352 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
74, 5, 6mp3an12 1565 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8 recgt0 11090 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
98ex 398 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 < (1 / 𝐴)))
107, 9syld 47 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴)))
113, 10syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴)))
122, 11mpani 677 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < (1 / 𝐴)))
131, 12mpd 15 1 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < (1 / 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2148   class class class wbr 4797  (class class class)co 6812  cr 10158  0cc0 10159  1c1 10160   < clt 10297  cle 10298   / cdiv 10907  cn 11243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-er 7917  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-div 10908  df-nn 11244
This theorem is referenced by:  itg2gt0  23768  minvecolem5  28094
  Copyright terms: Public domain W3C validator