MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnre 11065
Description: A positive integer is a real number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnre (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnre
StepHypRef Expression
1 nnssre 11062 . 2 ℕ ⊆ ℝ
21sseli 3632 1 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  cr 9973  cn 11058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-nn 11059
This theorem is referenced by:  nnrei  11067  nn2ge  11083  nnge1  11084  nngt1ne1  11085  nnle1eq1  11086  nngt0  11087  nnnlt1  11088  nnnle0  11089  nndivre  11094  nnrecgt0  11096  nnsub  11097  nnunb  11326  arch  11327  nnrecl  11328  bndndx  11329  0mnnnnn0  11363  nnnegz  11418  elnnz  11425  elz2  11432  gtndiv  11492  prime  11496  btwnz  11517  indstr  11794  qre  11831  rpnnen1lem2  11852  rpnnen1lem1  11853  rpnnen1lem3  11854  rpnnen1lem5  11856  rpnnen1lem1OLD  11859  rpnnen1lem3OLD  11860  rpnnen1lem5OLD  11862  nnrp  11880  nnledivrp  11978  qbtwnre  12068  elfzo0le  12551  fzonmapblen  12553  fzo1fzo0n0  12558  ubmelfzo  12572  fzonn0p1p1  12586  elfzom1p1elfzo  12587  ubmelm1fzo  12604  subfzo0  12630  adddivflid  12659  flltdivnn0lt  12674  quoremz  12694  quoremnn0ALT  12696  intfracq  12698  fldiv  12699  modmulnn  12728  m1modnnsub1  12756  addmodid  12758  modifeq2int  12772  modaddmodup  12773  modaddmodlo  12774  modfzo0difsn  12782  modsumfzodifsn  12783  addmodlteq  12785  nnlesq  13008  digit2  13037  digit1  13038  facdiv  13114  facndiv  13115  faclbnd  13117  faclbnd3  13119  faclbnd4lem4  13123  faclbnd5  13125  bcval5  13145  seqcoll  13286  ccatval21sw  13403  cshwidxmod  13595  cshwidxm1  13599  repswcshw  13604  isercolllem1  14439  harmonic  14635  efaddlem  14867  rpnnen2lem9  14995  rpnnen2lem12  14998  sqrt2irr  15023  nndivdvds  15036  dvdsle  15079  fzm1ndvds  15091  nno  15145  nnoddm1d2  15149  divalg2  15175  divalgmod  15176  divalgmodOLD  15177  ndvdsadd  15181  modgcd  15300  gcdmultiple  15316  gcdmultiplez  15317  gcdzeq  15318  sqgcd  15325  dvdssqlem  15326  lcmgcdlem  15366  lcmf  15393  coprmgcdb  15409  qredeq  15418  qredeu  15419  isprm3  15443  prmdvdsfz  15464  isprm5  15466  ncoprmlnprm  15483  divdenle  15504  phibndlem  15522  eulerthlem2  15534  hashgcdlem  15540  oddprm  15562  pythagtriplem10  15572  pythagtriplem12  15578  pythagtriplem14  15580  pythagtriplem16  15582  pythagtriplem19  15585  pclem  15590  pc2dvds  15630  pcmpt  15643  fldivp1  15648  pcbc  15651  infpnlem1  15661  infpn2  15664  prmreclem1  15667  prmreclem3  15669  vdwlem3  15734  ram0  15773  prmgaplem4  15805  prmgaplem7  15808  cshwshashlem1  15849  cshwshashlem2  15850  setsstruct2  15943  setsstructOLD  15946  mulgnegnn  17598  mulgmodid  17628  odmodnn0  18005  gexdvds  18045  sylow3lem6  18093  prmirredlem  19889  znidomb  19958  chfacfisf  20707  chfacfisfcpmat  20708  chfacffsupp  20709  chfacfscmul0  20711  chfacfpmmul0  20715  ovolunlem1a  23310  ovoliunlem2  23317  ovolicc2lem3  23333  ovolicc2lem4  23334  iundisj2  23363  dyadss  23408  volsup2  23419  volivth  23421  vitali  23427  ismbf3d  23466  mbfi1fseqlem3  23529  mbfi1fseqlem4  23530  mbfi1fseqlem5  23531  itg2seq  23554  itg2gt0  23572  itg2cnlem1  23573  plyeq0lem  24011  dgreq0  24066  dgrcolem2  24075  elqaalem2  24120  elqaalem3  24121  logtayllem  24450  leibpi  24714  birthdaylem3  24725  zetacvg  24786  eldmgm  24793  basellem1  24852  basellem2  24853  basellem3  24854  basellem6  24857  basellem9  24860  prmorcht  24949  dvdsflsumcom  24959  muinv  24964  vmalelog  24975  chtublem  24981  logfac2  24987  logfaclbnd  24992  pcbcctr  25046  bcmono  25047  bposlem1  25054  bposlem5  25058  bposlem6  25059  bpos  25063  lgsval4a  25089  gausslemma2dlem0c  25128  gausslemma2dlem0d  25129  gausslemma2dlem1a  25135  gausslemma2dlem2  25137  gausslemma2dlem3  25138  gausslemma2dlem5  25141  lgsquadlem1  25150  lgsquadlem2  25151  2lgslem1a1  25159  dchrisum0re  25247  dchrisum0lem1  25250  logdivbnd  25290  ostth2lem1  25352  ostth2lem3  25369  pthdlem2lem  26719  crctcshwlkn0lem1  26758  crctcshwlkn0lem3  26760  crctcshwlkn0lem4  26761  crctcshwlkn0lem5  26762  crctcshwlkn0lem6  26763  crctcshwlkn0lem7  26764  crctcshwlkn0  26769  clwwisshclwwslem  26971  clwwlkel  27009  clwwlkf  27010  clwwlkf1  27012  wwlksext2clwwlk  27021  wwlksext2clwwlkOLD  27022  wwlksubclwwlk  27023  eucrctshift  27221  eucrct2eupth  27223  numclwlk2lem2f  27357  numclwlk2lem2fOLD  27364  nmounbseqi  27760  nmounbseqiALT  27761  nmobndseqi  27762  nmobndseqiALT  27763  ubthlem1  27854  minvecolem3  27860  lnconi  29020  iundisj2f  29529  nnmulge  29643  xrsmulgzz  29806  esumpmono  30269  eulerpartlemb  30558  fibp1  30591  subfaclim  31296  subfacval3  31297  snmlff  31437  fz0n  31742  bcprod  31750  nn0prpwlem  32442  nn0prpw  32443  nndivsub  32581  nndivlub  32582  knoppcnlem2  32609  knoppcnlem4  32611  knoppcnlem10  32617  knoppndvlem11  32638  knoppndvlem12  32639  knoppndvlem14  32641  poimirlem13  33552  poimirlem14  33553  poimirlem31  33570  poimirlem32  33571  mblfinlem2  33577  fzmul  33667  incsequz  33674  nnubfi  33676  nninfnub  33677  irrapxlem1  37703  irrapxlem2  37704  pellexlem1  37710  pellexlem5  37714  pellqrex  37760  monotoddzzfi  37824  jm2.24nn  37843  congabseq  37858  acongrep  37864  acongeq  37867  expdiophlem1  37905  idomrootle  38090  idomodle  38091  relexpmulnn  38318  prmunb2  38827  hashnzfzclim  38838  fmuldfeq  40133  sumnnodd  40180  stoweidlem14  40549  stoweidlem17  40552  stoweidlem20  40555  stoweidlem49  40584  stoweidlem60  40595  wallispilem3  40602  wallispilem4  40603  wallispilem5  40604  wallispi  40605  wallispi2lem1  40606  wallispi2lem2  40607  stirlinglem1  40609  stirlinglem3  40611  stirlinglem4  40612  stirlinglem6  40614  stirlinglem7  40615  stirlinglem10  40618  stirlinglem11  40619  stirlinglem12  40620  stirlinglem13  40621  stirlingr  40625  dirker2re  40627  dirkerval2  40629  dirkerre  40630  dirkertrigeqlem1  40633  fourierdlem66  40707  fourierdlem73  40714  fourierdlem83  40724  fourierdlem87  40728  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  fourierdlem111  40752  fouriersw  40766  etransclem24  40793  sge0rpcpnf  40956  hoicvr  41083  hoicvrrex  41091  vonioolem2  41216  vonicclem2  41219  subsubelfzo0  41661  fmtnodvds  41781  2pwp1prm  41828  lighneallem2  41848  nn0oALTV  41932  nnsum4primes4  42002  nnsum4primesprm  42004  nnsum4primesgbe  42006  nnsum4primesle9  42008  bgoldbachlt  42026  tgoldbach  42030  bgoldbachltOLD  42032  tgoldbachOLD  42037  altgsumbcALT  42456  modn0mul  42640  m1modmmod  42641  difmodm1lt  42642  nnlog2ge0lt1  42685  logbpw2m1  42686  blennn  42694  blennnelnn  42695  nnpw2pmod  42702  nnolog2flm1  42709  digvalnn0  42718  dignn0fr  42720  dignn0ldlem  42721  dignnld  42722  dig2nn1st  42724
  Copyright terms: Public domain W3C validator