Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnolog2flm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnolog2flm1 42709
Description: The floor of the binary logarithm of an odd integer greater than 1 is the floor of the binary logarithm of the integer decreased by 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnolog2flm1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))

Proof of Theorem nnolog2flm1
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 11764 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 nnpw2blenfzo2 42701 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁)))))
31, 2syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁)))))
41adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5 nneo 11499 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
65bicomd 213 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
74, 6syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
8 notnotb 304 . . . . . . . 8 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
97, 8syl6bb 276 . . . . . . 7 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
109con4bid 306 . . . . . 6 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
11 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)))
1211oveq1d 6705 . . . . . . . 8 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 / 2) = ((2↑((#b𝑁) − 1)) / 2))
13 blennnelnn 42695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) ∈ ℕ)
1413nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) ∈ ℕ0)
151, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (#b𝑁) ∈ ℕ0)
16 2m1e1 11173 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 − 1) = 1
17 2cn 11129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℂ
18 2ne0 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ≠ 0
19 1ne2 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ≠ 2
2019necomi 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ≠ 1
21 logbid1 24551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
2217, 18, 20, 21mp3an 1464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 logb 2) = 1
23 eluzle 11738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
24 2z 11447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℤ
25 uzid 11740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ (ℤ‘2))
27 2rp 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ+
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ+)
291nnrpd 11908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ+)
30 logbleb 24566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁)))
3126, 28, 29, 30syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁)))
3223, 31mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝑁))
3322, 32syl5eqbrr 4721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ≤ (2 logb 𝑁))
3420a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≠ 1)
35 relogbcl 24556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
3628, 29, 34, 35syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
37 1zzd 11446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℤ)
38 flge 12646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁))))
3936, 37, 38syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁))))
4033, 39mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)))
4116, 40syl5eqbr 4720 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)))
42 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ)
44 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
4536flcld 12639 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
4645zred 11520 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℝ)
4743, 44, 46lesubaddd 10662 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ↔ 2 ≤ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
4841, 47mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
49 blennn 42694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
501, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
5148, 50breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ (#b𝑁))
52 nn0ge2m1nn 11398 . . . . . . . . . . 11 (((#b𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#b𝑁)) → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ)
5315, 51, 52syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ)
5453adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ)
55 nnpw2even 42648 . . . . . . . . 9 (((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ → ((2↑((#b𝑁) − 1)) / 2) ∈ ℕ)
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((2↑((#b𝑁) − 1)) / 2) ∈ ℕ)
5712, 56eqeltrd 2730 . . . . . . 7 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
5857pm2.24d 147 . . . . . 6 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
5910, 58sylbid 230 . . . . 5 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
6059ex 449 . . . 4 (𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
611, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (#b𝑁) ∈ ℕ)
62 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . 9 ((#b𝑁) ∈ ℕ → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
6361, 62syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
6463ad2antlr 763 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
651ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
66 nnpw2blenfzo 42700 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(#b𝑁))))
6765, 66syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(#b𝑁))))
6861nncnd 11074 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (#b𝑁) ∈ ℂ)
6968ad2antlr 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (#b𝑁) ∈ ℂ)
70 npcan1 10493 . . . . . . . . . . 11 ((#b𝑁) ∈ ℂ → (((#b𝑁) − 1) + 1) = (#b𝑁))
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (((#b𝑁) − 1) + 1) = (#b𝑁))
7271oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b𝑁)))
7372oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))) = ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(#b𝑁))))
7467, 73eleqtrrd 2733 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))))
75 fllog2 42687 . . . . . . 7 ((((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = ((#b𝑁) − 1))
7664, 74, 75syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = ((#b𝑁) − 1))
7761ad2antlr 763 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (#b𝑁) ∈ ℕ)
7877, 62syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
79 elfzo2 12512 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)) ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))))
80 eluz2 11731 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)) ↔ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁))
81803anbi1i 1272 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)) ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ↔ ((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))))
8279, 81bitri 264 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ↔ ((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))))
83 2nn 11223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℕ
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ)
8584, 63jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℕ ∧ ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0))
8685adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2 ∈ ℕ ∧ ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0))
87 nnexpcl 12913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℕ ∧ ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
8988nnzd 11519 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
90 peano2zm 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
91903ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
9291adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
9484, 63nnexpcld 13070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
9594nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
961nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
97 leaddsub 10542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
9895, 44, 96, 97syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
9998biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
100993ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
101100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
102101imp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1))
103 eluz2 11731 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ (𝑁 − 1)))
10489, 93, 102, 103syl3anbrc 1265 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))))
10570eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#b𝑁) ∈ ℂ → ((((#b𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0 ↔ (#b𝑁) ∈ ℕ0))
10668, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((#b𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0 ↔ (#b𝑁) ∈ ℕ0))
10715, 106mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((#b𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0)
10884, 107jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℕ ∧ (((#b𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0))
109108adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2 ∈ ℕ ∧ (((#b𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0))
110 nnexpcl 12913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℕ ∧ (((#b𝑁) − 1) + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℕ)
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℕ)
112111nnzd 11519 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ)
113 ltle 10164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℝ) → (𝑁 < (2↑(#b𝑁)) → 𝑁 ≤ (2↑(#b𝑁))))
114 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
11542a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
116115, 14reexpcld 13065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(#b𝑁)) ∈ ℝ)
117114, 116jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℝ))
1181, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℝ))
119113, 118syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 < (2↑(#b𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≤ (2↑(#b𝑁))))
120119adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≤ (2↑(#b𝑁))))
121120imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ≤ (2↑(#b𝑁)))
122 simpll2 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℤ)
12384, 15nnexpcld 13070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(#b𝑁)) ∈ ℕ)
124123nnzd 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ)
125124adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ)
126 zlem1lt 11467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (2↑(#b𝑁)) ↔ (𝑁 − 1) < (2↑(#b𝑁))))
127122, 125, 126syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 ≤ (2↑(#b𝑁)) ↔ (𝑁 − 1) < (2↑(#b𝑁))))
128121, 127mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 1) < (2↑(#b𝑁)))
12968, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((#b𝑁) − 1) + 1) = (#b𝑁))
130129oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b𝑁)))
131130adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) = (2↑(#b𝑁)))
132128, 131breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 1) < (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)))
133104, 112, 1323jca 1261 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))))
134133ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)))))
1351343adant2 1100 . . . . . . . . . . 11 (((((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1) ≤ 𝑁) ∧ (2↑(#b𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)))))
13682, 135sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)))))
137136imp 444 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))))
138 elfzo2 12512 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < (2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))))
139137, 138sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))))
140139adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(((#b𝑁) − 1) + 1))))
141 fllog2 42687 . . . . . . 7 ((((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ((2↑((#b𝑁) − 1))..^(2↑(((#b𝑁) − 1) + 1)))) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) = ((#b𝑁) − 1))
14278, 140, 141syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) = ((#b𝑁) − 1))
14376, 142eqtr4d 2688 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
144143exp31 629 . . . 4 (𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
14560, 144jaoi 393 . . 3 ((𝑁 = (2↑((#b𝑁) − 1)) ∨ 𝑁 ∈ (((2↑((#b𝑁) − 1)) + 1)..^(2↑(#b𝑁)))) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))))
1463, 145mpcom 38 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1)))))
147146imp 444 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  ..^cfzo 12504  cfl 12631  cexp 12900   logb clogb 24547  #bcblen 42688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-logb 24548  df-blen 42689
This theorem is referenced by:  blennngt2o2  42711
  Copyright terms: Public domain W3C validator