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Theorem nno 15271
Description: An alternate characterization of an odd integer greater than 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nno ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nno
StepHypRef Expression
1 eluz2b3 11926 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
2 nnnn0 11462 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 nn0o1gt2 15270 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
42, 3sylan 489 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
5 eqneqall 2931 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
65a1d 25 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
7 nn0z 11563 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
8 peano2zm 11583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
109ad2antlr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
11 2cn 11254 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
1211mulid2i 10206 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 · 2) = 2
13 nnre 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1413ltp1d 11117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
1514adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
16 2re 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
18 peano2nn 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1918nnred 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
20 lttr 10277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → ((2 < 𝑁𝑁 < (𝑁 + 1)) → 2 < (𝑁 + 1)))
2117, 13, 19, 20syl3anc 1463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 < 𝑁𝑁 < (𝑁 + 1)) → 2 < (𝑁 + 1)))
2221expdimp 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 < (𝑁 + 1) → 2 < (𝑁 + 1)))
2315, 22mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 2 < (𝑁 + 1))
2412, 23syl5eqbr 4827 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 · 2) < (𝑁 + 1))
25 1red 10218 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
2619adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
27 2pos 11275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 2
2816, 27pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
30 ltmuldiv 11059 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 · 2) < (𝑁 + 1) ↔ 1 < ((𝑁 + 1) / 2)))
3125, 26, 29, 30syl3anc 1463 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((1 · 2) < (𝑁 + 1) ↔ 1 < ((𝑁 + 1) / 2)))
3224, 31mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < ((𝑁 + 1) / 2))
3319rehalfcld 11442 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℝ)
3433adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℝ)
3525, 34posdifd 10777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 < ((𝑁 + 1) / 2) ↔ 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1)))
3632, 35mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1))
3736adantlr 753 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1))
38 elnnz 11550 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1)))
3910, 37, 38sylanbrc 701 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ)
40 nncn 11191 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
41 xp1d2m1eqxm1d2 11449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
4342eleq1d 2812 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
4443adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
4544adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
4639, 45mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
4746a1d 25 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
4847expcom 450 . . . . . 6 (2 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
496, 48jaoi 393 . . . . 5 ((𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
504, 49mpcom 38 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
5150impancom 455 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
521, 51sylbi 207 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
5352imp 444 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920   class class class wbr 4792  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  cr 10098  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   · cmul 10104   < clt 10237  cmin 10429   / cdiv 10847  cn 11183  2c2 11233  0cn0 11455  cz 11540  cuz 11850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851
This theorem is referenced by:  nn0o  15272  gausslemma2dlem0b  25252  blennngt2o2  42865  dignn0flhalf  42891
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