MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnne0 11091
Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnne0 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0
StepHypRef Expression
1 0nnn 11090 . . 3 ¬ 0 ∈ ℕ
2 eleq1 2718 . . 3 (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
31, 2mtbiri 316 . 2 (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
43necon2ai 2852 1 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  0cc0 9974  cn 11058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059
This theorem is referenced by:  nndivre  11094  nndiv  11099  nndivtr  11100  nnne0d  11103  zdiv  11485  zdivadd  11486  zdivmul  11487  elq  11828  qmulz  11829  qre  11831  qaddcl  11842  qnegcl  11843  qmulcl  11844  qreccl  11846  rpnnen1lem5  11856  rpnnen1lem5OLD  11862  nn0ledivnn  11979  fzo1fzo0n0  12558  quoremz  12694  quoremnn0ALT  12696  intfracq  12698  fldiv  12699  fldiv2  12700  modmulnn  12728  modsumfzodifsn  12783  expnnval  12903  expneg  12908  digit2  13037  facdiv  13114  facndiv  13115  bcm1k  13142  bcp1n  13143  bcval5  13145  hashnncl  13195  cshwidxmod  13595  relexpsucnnr  13809  divcnv  14629  harmonic  14635  expcnv  14640  ef0lem  14853  ruclem6  15008  sqrt2irr  15023  dvdsval3  15031  nndivdvds  15036  modmulconst  15060  dvdsdivcl  15085  dvdsflip  15086  divalg2  15175  divalgmod  15176  divalgmodOLD  15177  ndvdssub  15180  nndvdslegcd  15274  divgcdz  15280  divgcdnn  15283  modgcd  15300  gcddiv  15315  gcdzeq  15318  eucalgf  15343  eucalginv  15344  lcmgcdlem  15366  lcmftp  15396  qredeq  15418  qredeu  15419  cncongr1  15428  cncongr2  15429  isprm6  15473  divnumden  15503  divdenle  15504  phimullem  15531  hashgcdlem  15540  phisum  15542  prm23lt5  15566  pythagtriplem10  15572  pythagtriplem8  15575  pythagtriplem9  15576  pythagtriplem19  15585  pccl  15601  pcdiv  15604  pcqcl  15608  pcdvds  15615  pcndvds  15617  pcndvds2  15619  pceq0  15622  pcneg  15625  pcz  15632  pcmpt  15643  fldivp1  15648  pcfac  15650  oddprmdvds  15654  infpnlem2  15662  cshwshashlem1  15849  mulgnn  17594  mulgnegnn  17598  mulgmodid  17628  oddvdsnn0  18009  odmulgeq  18020  gexnnod  18049  cply1coe0  19717  cply1coe0bi  19718  qsssubdrg  19853  prmirredlem  19889  znf1o  19948  znhash  19955  znidomb  19958  znunithash  19961  znrrg  19962  m2cpm  20594  m2cpminvid2lem  20607  fvmptnn04ifc  20705  vitali  23427  mbfi1fseqlem3  23529  dvexp2  23762  plyeq0lem  24011  abelthlem9  24239  logtayllem  24450  logtayl  24451  logtaylsum  24452  logtayl2  24453  cxpexp  24459  cxproot  24481  root1id  24540  root1eq1  24541  cxpeq  24543  atantayl  24709  atantayl2  24710  leibpilem2  24713  leibpi  24714  birthdaylem2  24724  birthdaylem3  24725  dfef2  24742  emcllem2  24768  emcllem3  24769  zetacvg  24786  lgam1  24835  basellem4  24855  basellem5  24856  basellem8  24859  basellem9  24860  mumullem2  24951  fsumdvdscom  24956  chtublem  24981  dchrelbas4  25013  bclbnd  25050  lgsval4a  25089  lgsabs1  25106  lgssq2  25108  dchrmusumlema  25227  dchrmusum2  25228  dchrvmasumiflem1  25235  dchrvmaeq0  25238  dchrisum0flblem1  25242  dchrisum0flblem2  25243  dchrisum0re  25247  ostthlem1  25361  ostth1  25367  pthdlem2lem  26719  wspthsnonn0vne  26882  clwwisshclwwslem  26971  ipasslem4  27817  ipasslem5  27818  divnumden2  29692  qqhval2  30154  qqhnm  30162  signstfveq0  30782  subfacp1lem6  31293  circum  31694  fz0n  31742  divcnvlin  31744  iprodgam  31754  faclim  31758  nndivsub  32581  poimirlem29  33568  poimirlem31  33570  poimirlem32  33571  heiborlem4  33743  heiborlem6  33745  pellexlem1  37710  congrep  37857  jm2.20nn  37881  proot1ex  38096  hashnzfzclim  38838  binomcxplemnotnn0  38872  nnne1ge2  39818  mccllem  40147  clim1fr1  40151  dvnxpaek  40475  dvnprodlem2  40480  wallispilem5  40604  wallispi2lem1  40606  stirlinglem1  40609  stirlinglem3  40611  stirlinglem4  40612  stirlinglem5  40613  stirlinglem7  40615  stirlinglem10  40618  stirlinglem12  40620  stirlinglem14  40622  stirlinglem15  40623  fouriersw  40766  vonioolem2  41216  vonicclem2  41219  iccpartiltu  41683  divgcdoddALTV  41918  nnsgrpnmnd  42143  eluz2cnn0n1  42626  mod0mul  42639  modn0mul  42640  blennn  42694  nnpw2blen  42699  digvalnn0  42718  nn0digval  42719  dignn0fr  42720  dignn0ldlem  42721  dig0  42725
  Copyright terms: Public domain W3C validator