Theorem nnmulcld 11260

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 11235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 696	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2139  (class class class)co 6813   · cmul 10133  ℕcn 11212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-nn 11213

This theorem is referenced by:  bcm1k  13296  bcp1n  13297  permnn  13307  trireciplem  14793  efaddlem  15022  eftlub  15038  eirrlem  15131  modmulconst  15215  isprm5  15621  crth  15685  phimullem  15686  pcqmul  15760  pcaddlem  15794  pcbc  15806  oddprmdvds  15809  pockthlem  15811  pockthg  15812  vdwlem3  15889  vdwlem6  15892  vdwlem9  15895  torsubg  18457  ablfacrp  18665  dgrcolem1  24228  aalioulem5  24290  aaliou3lem2  24297  log2cnv  24870  log2tlbnd  24871  log2ublem2  24873  log2ub  24875  lgamgulmlem4  24957  wilthlem2  24994  ftalem7  25004  basellem5  25010  mumul  25106  fsumfldivdiaglem  25114  dvdsmulf1o  25119  sgmmul  25125  chtublem  25135  bcmono  25201  bposlem3  25210  bposlem5  25212  gausslemma2dlem1a  25289  lgsquadlem2  25305  lgsquadlem3  25306  lgsquad2lem2  25309  2sqlem6  25347  rplogsumlem1  25372  rplogsumlem2  25373  dchrisum0fmul  25394  vmalogdivsum2  25426  pntrsumbnd2  25455  pntpbnd1  25474  pntpbnd2  25475  ostth2lem2  25522  2sqmod  29957  oddpwdc  30725  eulerpartlemgh  30749  subfaclim  31477  bcprod  31931  faclim2  31941  jm2.27c  38076  relexpmulnn  38503  mccllem  40332  limsup10exlem  40507  wallispilem5  40789  wallispi2lem1  40791  wallispi2  40793  stirlinglem3  40796  stirlinglem8  40801  stirlinglem15  40808  dirkertrigeqlem3  40820  hoicvrrex  41276  deccarry  41831  fmtnoprmfac2  41989  sfprmdvdsmersenne  42030  lighneallem3  42034  proththdlem  42040  blennnt2  42893