Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnmulcl 11081
 Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
nnmulcl ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 1))
21eleq1d 2715 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · 1) ∈ ℕ))
32imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 1 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) ∈ ℕ)))
4 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
54eleq1d 2715 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ))
65imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ)))
7 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (𝑦 + 1)))
87eleq1d 2715 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))
98imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
10 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝐵))
1110eleq1d 2715 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ))
1211imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)))
13 nncn 11066 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
14 mulid1 10075 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
1514eleq1d 2715 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 1) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ ℕ))
1615biimprd 238 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) ∈ ℕ))
1713, 16mpcom 38 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 1) ∈ ℕ)
18 nnaddcl 11080 . . . . . . . 8 (((𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴) ∈ ℕ)
1918ancoms 468 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴) ∈ ℕ)
20 nncn 11066 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
21 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
22 adddi 10063 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)))
2321, 22mp3an3 1453 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)))
2414oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
2524adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑦) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
2623, 25eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
2713, 20, 26syl2an 493 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) = ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴))
2827eleq1d 2715 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 · 𝑦) + 𝐴) ∈ ℕ))
2919, 28syl5ibr 236 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))
3029exp4b 631 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))))
3130pm2.43b 55 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
3231a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
333, 6, 9, 12, 17, 32nnind 11076 . 2 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ))
3433impcom 445 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  ℕcn 11058 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-nn 11059 This theorem is referenced by:  nnmulcli  11082  nndivtr  11100  nnmulcld  11106  nn0mulcl  11367  qaddcl  11842  qmulcl  11844  modmulnn  12728  nnexpcl  12913  nnsqcl  12973  expmulnbnd  13036  faccl  13110  facdiv  13114  faclbnd3  13119  faclbnd4lem3  13122  faclbnd5  13125  bcrpcl  13135  trirecip  14639  fprodnncl  14729  nnrisefaccl  14794  lcmgcdlem  15366  lcmgcdnn  15371  pcmptcl  15642  prmreclem1  15667  prmreclem6  15672  4sqlem12  15707  vdwlem3  15734  vdwlem9  15740  vdwlem10  15741  mulgnnass  17623  mulgnnassOLD  17624  ovolunlem1a  23310  ovolunlem1  23311  mbfi1fseqlem3  23529  mbfi1fseqlem4  23530  elqaalem2  24120  elqaalem3  24121  log2cnv  24716  log2tlbnd  24717  log2ublem2  24719  log2ub  24721  basellem1  24852  basellem2  24853  basellem3  24854  basellem4  24855  basellem5  24856  basellem6  24857  basellem7  24858  basellem8  24859  basellem9  24860  efnnfsumcl  24874  efchtdvds  24930  mumullem1  24950  mumullem2  24951  fsumdvdscom  24956  dvdsflf1o  24958  chtublem  24981  pcbcctr  25046  bclbnd  25050  bposlem1  25054  bposlem2  25055  bposlem3  25056  bposlem4  25057  bposlem5  25058  bposlem6  25059  lgseisenlem1  25145  lgseisenlem2  25146  lgseisenlem3  25147  lgseisenlem4  25148  lgsquadlem1  25150  lgsquadlem2  25151  chebbnd1lem1  25203  chebbnd1lem3  25205  dchrisumlem1  25223  mulogsum  25266  pntrsumo1  25299  pntrsumbnd  25300  ostth2lem1  25352  subfaclim  31296  jm2.17a  37844  jm2.17b  37845  jm2.17c  37846  acongrep  37864  acongeq  37867  jm2.27a  37889  jm2.27c  37891
 Copyright terms: Public domain W3C validator