MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnmcan 7412
Description: Cancellation law for multiplication of natural numbers. (Contributed by NM, 26-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmcan (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem nnmcan
StepHypRef Expression
1 3anrot 1026 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
2 nnmword 7411 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐴 ·𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐶)))
31, 2sylanb 482 . . . 4 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐴 ·𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐶)))
4 3anrev 1032 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ↔ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
5 nnmword 7411 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐶𝐵 ↔ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐵)))
64, 5sylanb 482 . . . 4 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐶𝐵 ↔ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐵)))
73, 6anbi12d 734 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐵𝐶𝐶𝐵) ↔ ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ∧ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐵))))
87bicomd 208 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (((𝐴 ·𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ∧ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐵)) ↔ (𝐵𝐶𝐶𝐵)))
9 eqss 3469 . 2 ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) ↔ ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ∧ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐵)))
10 eqss 3469 . 2 (𝐵 = 𝐶 ↔ (𝐵𝐶𝐶𝐵))
118, 9, 103bitr4g 298 1 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 191  wa 378  w3a 1021   = wceq 1468  wcel 1937  wss 3426  c0 3757  (class class class)co 6363  ωcom 6769   ·𝑜 comu 7257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1698  ax-4 1711  ax-5 1789  ax-6 1836  ax-7 1883  ax-8 1939  ax-9 1946  ax-10 1965  ax-11 1970  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2485  ax-sep 4558  ax-nul 4567  ax-pow 4619  ax-pr 4680  ax-un 6659
This theorem depends on definitions:  df-bi 192  df-or 379  df-an 380  df-3or 1022  df-3an 1023  df-tru 1471  df-ex 1693  df-nf 1697  df-sb 1829  df-eu 2357  df-mo 2358  df-clab 2492  df-cleq 2498  df-clel 2501  df-nfc 2635  df-ne 2677  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3068  df-sbc 3292  df-csb 3386  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3758  df-if 3909  df-pw 3980  df-sn 3996  df-pr 3998  df-tp 4000  df-op 4002  df-uni 4229  df-iun 4309  df-br 4435  df-opab 4494  df-mpt 4495  df-tr 4531  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4801  df-so 4802  df-fr 4839  df-we 4841  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-pred 5431  df-ord 5477  df-on 5478  df-lim 5479  df-suc 5480  df-iota 5597  df-fun 5635  df-fn 5636  df-f 5637  df-f1 5638  df-fo 5639  df-f1o 5640  df-fv 5641  df-ov 6366  df-oprab 6367  df-mpt2 6368  df-om 6770  df-1st 6870  df-2nd 6871  df-wrecs 7105  df-recs 7167  df-rdg 7205  df-oadd 7263  df-omul 7264
This theorem is referenced by:  mulcanpi  9410
  Copyright terms: Public domain W3C validator