Theorem nnlogbexp 24739

Description: Identity law for general logarithm with integer base. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
nnlogbexp	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = 𝑀)

Proof of Theorem nnlogbexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zgt1rpn0n1 12073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
2	1	adantr 466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
3	2	simp1d 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpcnd 12076	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	adantr 466	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	2	simp2d 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ≠ 0)
7	6	adantr 466	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐵 ≠ 0)
8	2	simp3d 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ≠ 1)
9	8	adantr 466	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐵 ≠ 1)
10		logb1 24727	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) → (𝐵 logb 1) = 0)
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1475	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵 logb 1) = 0)
12		simpr 471	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
13	12	oveq2d 6808	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵↑𝑀) = (𝐵↑0))
14	5	exp0d 13208	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵↑0) = 1)
15	13, 14	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵↑𝑀) = 1)
16	15	oveq2d 6808	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = (𝐵 logb 1))
17	11, 16, 12	3eqtr4d 2814	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = 𝑀)
18	4	adantr 466	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	6	adantr 466	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
20	8	adantr 466	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 1)
21		eldifpr 4341	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
22	18, 19, 20, 21	syl3anbrc 1427	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
23	3	adantr 466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
24		simpr 471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
25	24	adantr 466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	23, 25	rpexpcld 13238	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐵↑𝑀) ∈ ℝ+)
27	26	rpcnne0d 12083	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝐵↑𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑𝑀) ≠ 0))
28		eldifsn 4451	. . . . 5 ⊢ ((𝐵↑𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐵↑𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑𝑀) ≠ 0))
29	27, 28	sylibr 224	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐵↑𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}))
30		logbval 24724	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐵↑𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = ((log‘(𝐵↑𝑀)) / (log‘𝐵)))
31	22, 29, 30	syl2anc 565	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = ((log‘(𝐵↑𝑀)) / (log‘𝐵)))
32	24	zred 11683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
33	32	adantr 466	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
34	23, 33	logcxpd 24697	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (log‘(𝐵↑𝑐𝑀)) = (𝑀 · (log‘𝐵)))
35	18, 19, 25	cxpexpzd 24677	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐵↑𝑐𝑀) = (𝐵↑𝑀))
36	35	fveq2d 6336	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (log‘(𝐵↑𝑐𝑀)) = (log‘(𝐵↑𝑀)))
37	34, 36	eqtr3d 2806	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 · (log‘𝐵)) = (log‘(𝐵↑𝑀)))
38	37	oveq1d 6807	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑀 · (log‘𝐵)) / (log‘𝐵)) = ((log‘(𝐵↑𝑀)) / (log‘𝐵)))
39	33	recnd 10269	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
40	18, 19	logcld 24537	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
41		logne0 24546	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → (log‘𝐵) ≠ 0)
42	23, 20, 41	syl2anc 565	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (log‘𝐵) ≠ 0)
43	39, 40, 42	divcan4d 11008	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑀 · (log‘𝐵)) / (log‘𝐵)) = 𝑀)
44	31, 38, 43	3eqtr2d 2810	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = 𝑀)
45	17, 44	pm2.61dane 3029	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵 logb (𝐵↑𝑀)) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3718  {csn 4314  {cpr 4316  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  ℂcc 10135  ℝcr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   · cmul 10142   / cdiv 10885  2c2 11271  ℤcz 11578  ℤ_≥cuz 11887  ℝ⁺crp 12034  ↑cexp 13066  logclog 24521  ↑_𝑐ccxp 24522   log_b clogb 24722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-ef 15003  df-sin 15005  df-cos 15006  df-pi 15008  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-haus 21339  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-cxp 24524  df-logb 24723

This theorem is referenced by:  dya2ub  30666  logbpw2m1  42879  fllog2  42880  blenpw2  42890