MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nngt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nngt0 11087
Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
nngt0 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0
StepHypRef Expression
1 nnre 11065 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2 nnge1 11084 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3 0lt1 10588 . . 3 0 < 1
4 0re 10078 . . . 4 0 ∈ ℝ
5 1re 10077 . . . 4 1 ∈ ℝ
6 ltletr 10167 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
74, 5, 6mp3an12 1454 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
83, 7mpani 712 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
91, 2, 8sylc 65 1 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2030   class class class wbr 4685  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   < clt 10112  cle 10113  cn 11058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059
This theorem is referenced by:  nnnle0  11089  nngt0i  11092  nnsub  11097  nngt0d  11102  nnrecl  11328  nn0ge0  11356  0mnnnnn0  11363  elnnnn0b  11375  nn0sub  11381  elnnz  11425  nnm1ge0  11483  gtndiv  11492  rpnnen1lem2  11852  rpnnen1lem1  11853  rpnnen1lem3  11854  rpnnen1lem5  11856  rpnnen1lem1OLD  11859  rpnnen1lem3OLD  11860  rpnnen1lem5OLD  11862  nnrp  11880  nnledivrp  11978  qbtwnre  12068  fzo1fzo0n0  12558  ubmelfzo  12572  elfznelfzo  12613  adddivflid  12659  flltdivnn0lt  12674  quoremz  12694  quoremnn0ALT  12696  intfracq  12698  fldiv  12699  expnnval  12903  nnlesq  13008  facdiv  13114  faclbnd  13117  bc0k  13138  ccatval21sw  13403  harmonic  14635  nndivdvds  15036  evennn2n  15122  nnoddm1d2  15149  ndvdssub  15180  ndvdsadd  15181  sqgcd  15325  lcmgcdlem  15366  qredeu  15419  isprm5  15466  divdenle  15504  hashgcdlem  15540  oddprm  15562  pythagtriplem12  15578  pythagtriplem13  15579  pythagtriplem14  15580  pythagtriplem16  15582  pythagtriplem19  15585  pc2dvds  15630  fldivp1  15648  prmreclem3  15669  prmgaplem7  15808  mulgnn  17594  mulgnegnn  17598  odmodnn0  18005  prmirredlem  19889  znidomb  19958  fvmptnn04if  20702  chfacfscmul0  20711  chfacfpmmul0  20715  dyadss  23408  volivth  23421  vitali  23427  mbfi1fseqlem3  23529  itg2gt0  23572  dgrcolem2  24075  logtayllem  24450  leibpi  24714  eldmgm  24793  basellem6  24857  muinv  24964  logfac2  24987  bcmono  25047  bposlem5  25058  bposlem6  25059  lgsval4a  25089  gausslemma2dlem1a  25135  ostth2lem1  25352  ostth2lem3  25369  clwwlkf1  27012  clwwlknonccat  27334  minvecolem3  27860  tgoldbachgtda  30867  subfaclim  31296  subfacval3  31297  snmlff  31437  nn0prpwlem  32442  nndivsub  32581  nndivlub  32582  poimirlem32  33571  fzmul  33667  irrapxlem1  37703  irrapxlem2  37704  pellexlem1  37710  monotoddzzfi  37824  rmynn  37840  jm2.24nn  37843  jm2.17c  37846  congabseq  37858  jm2.20nn  37881  rmydioph  37898  dgrsub2  38022  idomrootle  38090  rp-isfinite6  38181  stoweidlem17  40552  stoweidlem49  40584  wallispilem4  40603  stirlinglem6  40614  stirlinglem7  40615  stirlinglem10  40618  fourierdlem73  40714  fourierdlem111  40752  2ffzoeq  41663  iccpartltu  41686  ccats1pfxeqrex  41747  fmtnosqrt  41776  2pwp1prm  41828
  Copyright terms: Public domain W3C validator