MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnfi 8269
Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nnfi (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi
StepHypRef Expression
1 onfin2 8268 . . 3 ω = (On ∩ Fin)
2 inss2 3942 . . 3 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
31, 2eqsstri 3741 . 2 ω ⊆ Fin
43sseli 3705 1 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2103  cin 3679  Oncon0 5836  ωcom 7182  Fincfn 8072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-om 7183  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076
This theorem is referenced by:  cardnn  8902  en2eqpr  8943  en2eleq  8944  infxpenlem  8949  dfac12k  9082  pwsdompw  9139  ackbij2lem1  9154  ackbij1lem3  9157  ackbij1lem5  9159  ackbij1lem14  9168  ackbij1b  9174  fin23lem23  9261  fin23lem22  9262  domtriomlem  9377  gchcda1  9591  gch2  9610  omina  9626  hashgval2  13280  hashdom  13281  hashp1i  13304  hash1snb  13320  hash2pr  13364  pr2pwpr  13374  hash3tr  13385  xpsfrnel  16346  symggen  18011  psgnunilem1  18034  lt6abl  18417  znfld  20032  frgpcyg  20045  xpsmet  22309  xpsxms  22461  xpsms  22462  isppw  24960  finxpreclem4  33463  harinf  38020  frlmpwfi  38087
  Copyright terms: Public domain W3C validator