Theorem nnexpcld 13224

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 13067	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 696	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2139  (class class class)co 6813  ℕcn 11212  ℕ₀cn0 11484  ↑cexp 13054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-seq 12996  df-exp 13055

This theorem is referenced by:  bitsp1  15355  bitsfzolem  15358  bitsfzo  15359  bitsmod  15360  bitsfi  15361  bitscmp  15362  bitsinv1lem  15365  bitsinv1  15366  2ebits  15371  bitsinvp1  15373  sadcaddlem  15381  sadadd3  15385  sadaddlem  15390  sadasslem  15394  bitsres  15397  bitsuz  15398  bitsshft  15399  smumullem  15416  smumul  15417  rplpwr  15478  rppwr  15479  pclem  15745  pcprendvds2  15748  pcpre1  15749  pcpremul  15750  pcdvdsb  15775  pcidlem  15778  pcid  15779  pcdvdstr  15782  pcgcd1  15783  pcprmpw2  15788  pcaddlem  15794  pcadd  15795  pcfaclem  15804  pcfac  15805  pcbc  15806  oddprmdvds  15809  prmpwdvds  15810  pockthlem  15811  2expltfac  16001  pgpfi1  18210  sylow1lem1  18213  sylow1lem3  18215  sylow1lem4  18216  sylow1lem5  18217  pgpfi  18220  gexexlem  18455  ablfac1lem  18667  ablfac1b  18669  ablfac1eu  18672  aalioulem2  24287  aalioulem5  24290  aaliou3lem9  24304  isppw2  25040  sgmppw  25121  fsumvma2  25138  pclogsum  25139  chpchtsum  25143  logfacubnd  25145  bposlem1  25208  bposlem5  25212  gausslemma2d  25298  lgseisen  25303  chebbnd1lem1  25357  rpvmasumlem  25375  dchrisum0flblem1  25396  dchrisum0flblem2  25397  ostth2lem2  25522  ostth2lem3  25523  oddpwdc  30725  eulerpartlemgh  30749  jm3.1lem3  38088  inductionexd  38955  stoweidlem25  40745  stoweidlem45  40765  wallispi2lem1  40791  ovnsubaddlem1  41290  ovolval5lem2  41373  fmtnoodd  41955  fmtnof1  41957  fmtnosqrt  41961  fmtnorec4  41971  odz2prm2pw  41985  fmtnoprmfac1lem  41986  fmtnoprmfac1  41987  fmtnoprmfac2lem1  41988  fmtnoprmfac2  41989  2pwp1prm  42013  lighneallem1  42032  proththdlem  42040  proththd  42041  pw2m1lepw2m1  42820  nnpw2even  42833  logbpw2m1  42871  nnpw2pmod  42887  nnpw2p  42890  nnolog2flm1  42894  dignn0flhalflem1  42919