MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnexpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnexpcl 12913
Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnexpcl ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnsscn 11063 . 2 ℕ ⊆ ℂ
2 nnmulcl 11081 . 2 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3 1nn 11069 . 2 1 ∈ ℕ
41, 2, 3expcllem 12911 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2030  (class class class)co 6690  cn 11058  0cn0 11330  cexp 12900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901
This theorem is referenced by:  digit1  13038  nnexpcld  13070  faclbnd4lem3  13122  faclbnd5  13125  climcndslem1  14625  climcndslem2  14626  climcnds  14627  harmonic  14635  geo2sum  14648  geo2lim  14650  ege2le3  14864  eftlub  14883  ef01bndlem  14958  phiprmpw  15528  pcdvdsb  15620  pcmptcl  15642  pcfac  15650  pockthi  15658  prmreclem3  15669  prmreclem5  15671  prmreclem6  15672  modxai  15819  1259lem5  15889  2503lem3  15893  4001lem4  15898  ovollb2lem  23302  ovoliunlem1  23316  ovoliunlem3  23318  dyadf  23405  dyadovol  23407  dyadss  23408  dyaddisjlem  23409  dyadmaxlem  23411  opnmbllem  23415  mbfi1fseqlem1  23527  mbfi1fseqlem3  23529  mbfi1fseqlem4  23530  mbfi1fseqlem5  23531  mbfi1fseqlem6  23532  aalioulem1  24132  aaliou2b  24141  aaliou3lem9  24150  log2cnv  24716  log2tlbnd  24717  log2ublem1  24718  log2ublem2  24719  log2ub  24721  zetacvg  24786  vmappw  24887  sgmnncl  24918  dvdsppwf1o  24957  0sgmppw  24968  1sgm2ppw  24970  vmasum  24986  mersenne  24997  perfect1  24998  perfectlem1  24999  perfectlem2  25000  perfect  25001  pcbcctr  25046  bclbnd  25050  bposlem2  25055  bposlem6  25059  bposlem8  25061  chebbnd1lem1  25203  rplogsumlem2  25219  ostth2lem3  25369  ostth3  25372  oddpwdc  30544  tgoldbachgt  30869  faclim2  31760  opnmbllem0  33575  heiborlem3  33742  heiborlem5  33744  heiborlem6  33745  heiborlem7  33746  heiborlem8  33747  heibor  33750  hoicvrrex  41091  ovnsubaddlem2  41106  ovolval5lem1  41187  fmtnoprmfac2lem1  41803  fmtno4prm  41812  perfectALTVlem1  41955  perfectALTVlem2  41956  perfectALTV  41957  bgoldbachlt  42026  tgblthelfgott  42028  tgoldbachlt  42029  bgoldbachltOLD  42032  tgblthelfgottOLD  42034  tgoldbachltOLD  42035  blenpw2  42697  nnpw2pb  42706  nnolog2flm1  42709
  Copyright terms: Public domain W3C validator