MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nneo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nneo 11668
Description: A positive integer is even or odd but not both. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nneo (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nneo
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nncn 11234 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2 peano2cn 10414 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
4 2cn 11297 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
54a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
6 2ne0 11319 . . . . . 6 2 ≠ 0
76a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
83, 5, 7divcan2d 11009 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = (𝑁 + 1))
91, 5, 7divcan2d 11009 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
109oveq1d 6811 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 / 2)) + 1) = (𝑁 + 1))
118, 10eqtr4d 2808 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
12 nnz 11606 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
13 nnz 11606 . . . . . 6 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
14 zneo 11667 . . . . . 6 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
1512, 13, 14syl2an 583 . . . . 5 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ) → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
1615expcom 398 . . . 4 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1)))
1716necon2bd 2959 . . 3 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((2 · (𝑁 / 2)) + 1) → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
1811, 17syl5com 31 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
19 oveq1 6803 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 → (𝑗 + 1) = (1 + 1))
2019oveq1d 6811 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((1 + 1) / 2))
2120eleq1d 2835 . . . . 5 (𝑗 = 1 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((1 + 1) / 2) ∈ ℕ))
22 oveq1 6803 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → (𝑗 / 2) = (1 / 2))
2322eleq1d 2835 . . . . 5 (𝑗 = 1 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (1 / 2) ∈ ℕ))
2421, 23orbi12d 904 . . . 4 (𝑗 = 1 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((1 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (1 / 2) ∈ ℕ)))
25 oveq1 6803 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
2625oveq1d 6811 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((𝑘 + 1) / 2))
2726eleq1d 2835 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
28 oveq1 6803 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 / 2) = (𝑘 / 2))
2928eleq1d 2835 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑘 / 2) ∈ ℕ))
3027, 29orbi12d 904 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ)))
31 oveq1 6803 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
3231oveq1d 6811 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗 + 1) / 2) = (((𝑘 + 1) + 1) / 2))
3332eleq1d 2835 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ))
34 oveq1 6803 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 / 2) = ((𝑘 + 1) / 2))
3534eleq1d 2835 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
3633, 35orbi12d 904 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ)))
37 oveq1 6803 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
3837oveq1d 6811 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((𝑁 + 1) / 2))
3938eleq1d 2835 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
40 oveq1 6803 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 / 2) = (𝑁 / 2))
4140eleq1d 2835 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
4239, 41orbi12d 904 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)))
43 df-2 11285 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
4443oveq1i 6806 . . . . . . 7 (2 / 2) = ((1 + 1) / 2)
45 2div2e1 11357 . . . . . . 7 (2 / 2) = 1
4644, 45eqtr3i 2795 . . . . . 6 ((1 + 1) / 2) = 1
47 1nn 11237 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
4846, 47eqeltri 2846 . . . . 5 ((1 + 1) / 2) ∈ ℕ
4948orci 854 . . . 4 (((1 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (1 / 2) ∈ ℕ)
50 peano2nn 11238 . . . . . . 7 ((𝑘 / 2) ∈ ℕ → ((𝑘 / 2) + 1) ∈ ℕ)
51 nncn 11234 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
52 add1p1 11490 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 1) + 1) = (𝑘 + 2))
5352oveq1d 6811 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℂ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 + 2) / 2))
54 2cnne0 11449 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
55 divdir 10916 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + (2 / 2)))
564, 54, 55mp3an23 1564 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + (2 / 2)))
5745oveq2i 6807 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 / 2) + (2 / 2)) = ((𝑘 / 2) + 1)
5856, 57syl6eq 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
5953, 58eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℂ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
6051, 59syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
6160eleq1d 2835 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 / 2) + 1) ∈ ℕ))
6250, 61syl5ibr 236 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / 2) ∈ ℕ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ))
6362orim2d 951 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → (((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ)))
64 orcom 859 . . . . 5 ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ) ↔ ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
6563, 64syl6ib 241 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ)))
6624, 30, 36, 42, 49, 65nnind 11244 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
6766ord 853 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
6818, 67impbid 202 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  (class class class)co 6796  cc 10140  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147   / cdiv 10890  cn 11226  2c2 11276  cz 11584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-z 11585
This theorem is referenced by:  nneoi  11669  zeo  11670  ovolunlem1a  23484  ovolunlem1  23485  nneop  42845  nnolog2flm1  42909
  Copyright terms: Public domain W3C validator