MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnenom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnenom 12819
Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
nnenom ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 8578 . . 3 ω ∈ V
2 nn0ex 11336 . . 3 0 ∈ V
3 eqid 2651 . . . 4 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
43hashgf1o 12810 . . 3 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5 f1oen2g 8014 . . 3 ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
61, 2, 4, 5mp3an 1464 . 2 ω ≈ ℕ0
7 nn0ennn 12818 . 2 0 ≈ ℕ
86, 7entr2i 8052 1 ℕ ≈ ω
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2030  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cres 5145  1-1-ontowf1o 5925  (class class class)co 6690  ωcom 7107  reccrdg 7550  cen 7994  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  cn 11058  0cn0 11330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726
This theorem is referenced by:  nnct  12820  supcvg  14632  xpnnen  14983  znnen  14985  qnnen  14986  rexpen  15001  aleph1re  15018  aleph1irr  15019  bitsf1  15215  unben  15660  odinf  18026  odhash  18035  cygctb  18339  1stcfb  21296  2ndcredom  21301  1stcelcls  21312  hauspwdom  21352  met1stc  22373  met2ndci  22374  re2ndc  22651  iscmet3  23137  ovolctb2  23306  ovolfi  23308  ovoliunlem3  23318  iunmbl2  23371  uniiccdif  23392  dyadmbl  23414  opnmblALT  23417  mbfimaopnlem  23467  itg2seq  23554  aannenlem3  24130  dirith2  25262  nmounbseqi  27760  nmobndseqi  27762  minvecolem5  27865  padct  29625  f1ocnt  29687  dmvlsiga  30320  sigapildsys  30353  volmeas  30422  omssubadd  30490  carsgclctunlem3  30510  poimirlem30  33569  poimirlem32  33571  mblfinlem1  33576  ovoliunnfl  33581  heiborlem3  33742  heibor  33750  lzenom  37650  fiphp3d  37700  irrapx1  37709  pellex  37716  nnfoctb  39527  zenom  39533  qenom  39890  ioonct  40082  subsaliuncl  40894  caragenunicl  41059  caratheodory  41063  ovnsubaddlem2  41106
  Copyright terms: Public domain W3C validator