MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nndivred 11261
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nndivred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nndivred (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred
StepHypRef Expression
1 nndivred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 nndivred.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
3 nndivre 11248 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  (class class class)co 6813  cr 10127   / cdiv 10876  cn 11212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213
This theorem is referenced by:  bcp1nk  13298  reeftcl  15004  efcllem  15007  eftlub  15038  eirrlem  15131  dvdsmod  15252  bitsfzo  15359  bitsmod  15360  bitscmp  15362  bitsuz  15398  bezoutlem3  15460  hashdvds  15682  prmdiv  15692  odzdvds  15702  pcfaclem  15804  pcfac  15805  pcbc  15806  pockthlem  15811  prmreclem4  15825  odmod  18165  zringlpirlem3  20036  prmirredlem  20043  lebnumii  22966  ovoliunlem1  23470  uniioombllem4  23554  dyadss  23562  dyaddisjlem  23563  dyadmaxlem  23565  opnmbllem  23569  mbfi1fseqlem1  23681  mbfi1fseqlem3  23683  mbfi1fseqlem4  23684  mbfi1fseqlem5  23685  mbfi1fseqlem6  23686  aaliou3lem9  24304  taylthlem2  24327  advlogexp  24600  leibpilem2  24867  leibpi  24868  leibpisum  24869  birthdaylem3  24879  amgmlem  24915  fsumharmonic  24937  lgamgulmlem2  24955  lgamgulmlem3  24956  lgamgulmlem4  24957  lgamgulmlem6  24959  lgamcvg2  24980  regamcl  24986  basellem4  25009  dvdsflf1o  25112  fsumfldivdiaglem  25114  logexprlim  25149  pcbcctr  25200  bcp1ctr  25203  bposlem2  25209  bposlem6  25213  lgseisenlem4  25302  lgseisen  25303  lgsquadlem1  25304  lgsquadlem2  25305  chebbnd1lem3  25359  chtppilimlem1  25361  vmadivsum  25370  vmadivsumb  25371  rplogsumlem1  25372  rplogsumlem2  25373  rpvmasumlem  25375  dchrisumlem1  25377  dchrvmasumlem1  25383  dchrvmasum2lem  25384  dchrvmasum2if  25385  dchrvmasumlem2  25386  dchrvmasumlem3  25387  dchrvmasumiflem1  25389  dchrvmasumiflem2  25390  rpvmasum2  25400  dchrisum0lem1  25404  dchrmusumlem  25410  dirith2  25416  mudivsum  25418  mulogsumlem  25419  mulogsum  25420  mulog2sumlem1  25422  mulog2sumlem2  25423  mulog2sumlem3  25424  vmalogdivsum2  25426  vmalogdivsum  25427  2vmadivsumlem  25428  selberglem1  25433  selberglem2  25434  selbergb  25437  selberg2b  25440  logdivbnd  25444  selberg3lem1  25445  selberg3  25447  selberg4lem1  25448  selberg4  25449  pntrsumo1  25453  pntrsumbnd  25454  pntrsumbnd2  25455  selbergr  25456  selberg3r  25457  selberg4r  25458  pntsf  25461  pntsval2  25464  pntrlog2bndlem2  25466  pntrlog2bndlem4  25468  pntrlog2bndlem5  25469  pntrlog2bndlem6  25471  pntpbnd1  25474  pntpbnd2  25475  pntibndlem2  25479  pntlemn  25488  pntlemj  25491  pntlemk  25494  pntlemo  25495  ostth2lem2  25522  subfacval2  31476  subfaclim  31477  cvmliftlem6  31579  cvmliftlem7  31580  cvmliftlem8  31581  cvmliftlem9  31582  cvmliftlem10  31583  faclimlem1  31936  faclimlem2  31937  faclim2  31941  poimirlem29  33751  opnmbllem0  33758  pellexlem2  37896  hashnzfz2  39022  hashnzfzclim  39023  stoweidlem11  40731  stoweidlem26  40746  stoweidlem42  40762  stoweidlem59  40779  etransclem23  40977
  Copyright terms: Public domain W3C validator