MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nndivre 11240
Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
nndivre ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre
StepHypRef Expression
1 nnre 11211 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 nnne0 11237 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
31, 2jca 555 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4 redivcl 10928 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
543expb 1113 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
63, 5sylan2 492 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2131  wne 2924  (class class class)co 6805  cr 10119  0cc0 10120   / cdiv 10868  cn 11204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205
This theorem is referenced by:  nnrecre  11241  nndivred  11253  fldiv2  12846  zmodcl  12876  iexpcyc  13155  sqrlem7  14180  expcnv  14787  ef01bndlem  15105  sin01bnd  15106  cos01bnd  15107  rpnnen2lem2  15135  rpnnen2lem3  15136  rpnnen2lem4  15137  rpnnen2lem9  15142  fldivp1  15795  ovoliunlem1  23462  dyadf  23551  dyadovol  23553  mbfi1fseqlem3  23675  mbfi1fseqlem4  23676  dveflem  23933  plyeq0lem  24157  tangtx  24448  tan4thpi  24457  root1id  24686  root1eq1  24687  root1cj  24688  cxpeq  24689  1cubrlem  24759  atan1  24846  log2tlbnd  24863  log2ublem1  24864  log2ublem2  24865  log2ub  24867  birthdaylem3  24871  birthday  24872  basellem5  25002  basellem8  25005  ppiub  25120  logfac2  25133  dchrptlem1  25180  dchrptlem2  25181  bposlem3  25202  bposlem4  25203  bposlem5  25204  bposlem6  25205  bposlem9  25208  vmadivsum  25362  dchrisum0lem1a  25366  dchrmusum2  25374  dchrvmasum2if  25377  dchrvmasumlem2  25378  dchrvmasumiflem1  25381  dchrvmasumiflem2  25382  dchrisum0re  25393  dchrisum0lem1b  25395  dchrisum0lem1  25396  dchrvmasumlem  25403  rplogsum  25407  mudivsum  25410  selberg2  25431  chpdifbndlem1  25433  selberg3lem1  25437  selbergr  25448  pntlemb  25477  pntlemg  25478  pntlemf  25485  snmlff  31610  sinccvglem  31865  circum  31867  poimirlem29  33743  poimirlem30  33744  poimirlem32  33746
  Copyright terms: Public domain W3C validator