Theorem nncand 10598

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 10511	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 565	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  (class class class)co 6792  ℂcc 10135   − cmin 10467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-ltxr 10280  df-sub 10469

This theorem is referenced by:  moddiffl  12888  flmod  12891  ccatswrd  13664  o1dif  14567  fprodser  14885  fprodrev  14913  fallfacval3  14948  efaddlem  15028  4sqlem5  15852  mul4sqlem  15863  4sqlem14  15868  coe1tmmul2  19860  znunit  20126  blssps  22448  blss  22449  metdstri  22873  ivthlem3  23440  ioorcl2  23559  vitalilem2  23596  dvexp3  23960  dvcvx  24002  iblulm  24380  chordthmlem4  24782  heron  24785  cubic  24796  dquartlem1  24798  birthdaylem2  24899  lgamgulmlem2  24976  lgamcvg2  25001  ftalem2  25020  basellem3  25029  gausslemma2dlem1a  25310  lgsquadlem1  25325  pntrlog2bndlem4  25489  axsegconlem1  26017  lt2addrd  29850  ballotlemsf1o  30909  bcprod  31956  lzenom  37852  rmspecfund  37993  fzmaxdif  38067  jm2.18  38074  jm2.19  38079  jm2.20nn  38083  supxrgere  40059  lptre2pt  40384  ioodvbdlimc2lem  40661  dvnprodlem1  40673  dvnprodlem2  40674  fourierdlem4  40839  fourierdlem26  40861  fourierdlem42  40877  fourierdlem48  40882  fourierdlem65  40899  fouriersw  40959  sge0gtfsumgt  41171  meaiininclem  41214  fmtnorec2lem  41972  goldbachthlem2  41976  pw2m1lepw2m1  42828