MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nncan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nncan 10510
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
nncan ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncan
StepHypRef Expression
1 subsub2 10509 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴𝐵)) = (𝐴 + (𝐵𝐴)))
213anidm12 1527 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴𝐵)) = (𝐴 + (𝐵𝐴)))
3 pncan3 10489 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
42, 3eqtrd 2803 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴𝐵)) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1629  wcel 2143  (class class class)co 6791  cc 10134   + caddc 10139  cmin 10466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4572  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-id 5156  df-po 5169  df-so 5170  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-ltxr 10279  df-sub 10468
This theorem is referenced by:  nnncan1  10517  nncand  10597  elz2  11594  fzrev2  12610  fzrevral  12631  fzrevral2  12632  bccmpl  13303  revrev  13728  fsumrev  14722  geolim2  14813  dvdssub2  15237  efgredleme  18369  psrcom  19630  psropprmul  19829  icccvx  22975  lebnumii  22991  pcorevlem  23051  pcorev2  23053  pi1xfrcnv  23082  efcvx  24429  sincos3rdpi  24495  cosne0  24503  logtayl  24633  logtayl2  24635  logccv  24636  acoscos  24847  sinacos  24859  cvxcl  24938  scvxcvx  24939  basellem5  25038  logfacbnd3  25175  bposlem1  25236  gausslemma2dlem1a  25317  lgsquadlem2  25333  chtppilimlem2  25390  rplogsumlem1  25400  rpvmasumlem  25403  brbtwn2  26012  ax5seglem1  26035  resconn  31567  dvasin  33828  fouriersw  40966  subsubelfzo0  41861
  Copyright terms: Public domain W3C validator