MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnaword1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnaword1 7655
Description: Weak ordering property of addition. (Contributed by NM, 9-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaword1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵))

Proof of Theorem nnaword1
StepHypRef Expression
1 nna0 7630 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴)
21adantr 481 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴)
3 0ss 3949 . . 3 ∅ ⊆ 𝐵
4 peano1 7033 . . . 4 ∅ ∈ ω
5 nnaword 7653 . . . . 5 ((∅ ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑜 ∅) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
653com13 1267 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑜 ∅) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
74, 6mp3an3 1410 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑜 ∅) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
83, 7mpbii 223 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 ∅) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵))
92, 8eqsstr3d 3624 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wss 3560  c0 3896  (class class class)co 6605  ωcom 7013   +𝑜 coa 7503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-oadd 7510
This theorem is referenced by:  nnaword2  7656  nnmordi  7657  nnawordex  7663  omopthlem2  7682  unfilem1  8169  unfi  8172  ackbij1lem12  8998
  Copyright terms: Public domain W3C validator